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Corto beverini 



[Memoria XILJ 



2. Data una funzione f{x) misurabile, non limitata, si può 

 in infiniti modi costruire una successione di funzioni f n (x) som- 

 mabili e soddisfacenti nei punti deli' intervallo (a, 6), alle con- 

 dizioni : 



(11) lim /„ (x) =/(»), | f n (ce) | ^ | f(x) | in =. 1, 2, . . . . , oo) : 



basta infatti considerare due successioni di numeri positivi, ten- 

 denti all' infinito : 



A| j A .) i i A „ , 



(12) 



n; , N\ , , A"„ , 



e definire le /„ (x) nel seguente modo : 



/„ (a?) = f(a5) per ogni a; in cui — A"„ </(*) < y„ 

 /„ (x) = i\ 7 „ » » » » » f (x) > N„ 



f il {X)=—N' n » » » » » /'(*) ^ — N'»- 



Ad ogni successione (rosi ottenuta possono applicarsi le con- 

 siderazioni sopra svolte, quando si voglia decidere se la funzione 

 data è sommabile , bastando anzi riconoscere che per due spe- 

 ciali successioni di valori di N n , N,' risulta soddisfatta la se- 

 conda delle (1) ; e nel caso che la f(x) sia sommabile dovranno 

 sussistere le relazioni (8), (9), (10), ove, ben s'intende, le /„ (x) 

 siano definite come ora si è detto, e le <p« (x) , (x) da queste 

 dedotte nel solito modo. 



Potendosi ciò ripetere qualunque siano le successioni (12) 

 si conclude, che se la f{x) è sommabile, il suo integrale è il li- 



f" 



mite a cui tende l'integrale lf n (x)dx, quando N n , N' n tendo- 



»- 



a 



no in modo qualunque, l' uno indipendentemente dall' altro, al- 

 l' infinito. Viceversa se quest' ultimo integrale tende sempre ad 



