Sulle funzioni sommabili. 



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un medesimo limite determinato e finito A , indipendente dalla 



r 



scelta delle quantità N n , N' n , dovendo i due integrali /<p« (x) dx 



rb 



ìty'n (x) I dx ed anche la loro somma 



r r r 



9n («) + / I àx=\ | /„ (x) | dx 



tendere a limiti determinati e finiti, e mantenersi quindi costan- 

 temente minori in valore assoluto di una quantità positiva, fi- 

 nita, si può, per quanto è stato sopra detto, concludere che la 

 f '(x) è sommabile, e si ha : 



'i, 



f(x) dx = A. 



Il concetto d' integrale dato da Lebesgue per le funzioni mi- 

 surabili, finite, non limitate, si può dunque dedurre dal suo con- 

 cetto d' integrale delle funzioni misurabili, limitate, nello stesso 

 modo col quale De la Vallèe-Poussin, (*) partendo dall'integrale 

 di Biemann ha dedotto il concetto d' integrale definito, impro- 

 prio, assolutamente convergente. 



Volendo rifare in questo caso la teoria di De la Vallee- Pous- 

 sin occorrerebbe presupporre la rinchiudibilità dell' insieme dei 

 punti d'infinito, dei punti cioè in ogni cui intorno il limite su- 

 periore di \f{%) | è infinito; è però facile vedere che questa con- 

 dizione è necessaria anche per la definizione di Lebesf/ue. Do- 

 vendo infatti la misura dell'insieme E[li <^.\f{x)\~\, ove /, ha 

 il significato detto nel § 1, tendere a zero, al crescere di i, se 

 f (x) è sommabile, ne viene che, scelto un numero positivo e ar- 



(•) Iournal de Lionville, S. IV, T. Vili (1892), 



