Sulle funzioni sommabili. 



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astrazione, senza che gli ordinari enunciati vengano in alcun 

 modo cambiati. 



Possiamo adottare, anche se f (x) diventa infinita, la defi- 

 nizione che scaturisce dalle considerazioni dianzi svolte, impron- 

 tate alle idee di de la Vallèe- Poussin, assumendo ancora come in- 

 tegrale di f (x) il limite A dell' integrale di i n (x) , quando esiste 

 determinato, finito, indipendente dal modo con etti .si fanno tendere 

 all' infinito N n , N~ n ' . Dovrà necessariamente L'insieme J essere 

 di misura nulla, ed, in tale ipotesi, essendo, per ogni n : 



r f 



I /„ (x) dx=l /„ (x) dx, 



« Cab (J) 



ove (Jabi'J) indica l'insieme complementare, rispetto ad (a, b), di 

 J, V insieme cioè dei punti di (a, 6), in cui la f(%) è supposta 

 finita, si può anche dire, riportandosi a quanto è stato sopra os- 

 servato, che il limite A, (piando esiste, non è altra cosa che V in- 

 tegrale ottenuto mediante le (L'i), facendo astrazione dall' insieme 

 J, o brevemente V integrale : 



f(x)d x , 

 "Cao («0 



e viceversa. (*) 



Colla precedente definizione si ha ora il risultato generale 

 che la determinazione della funzione data nei punti di un in- 

 sieme di misura nulla non influisce uè sulla esistenza uè sul 

 valore del suo integrale, e si può /tartare anche d'integrale di una 



(*) Cfr. Levi (15): Sul principio di Dirichlet ; Rendic. del Circ. Mtit. di Palermo, T. XXII 

 (1906) pag. 300. 



Atti Acc. Skrik 4 a , Vol. XX-. Meni. XII. 2 



