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('urlo beverini 



[Memoria XII.] 



funzione f (x), che in un insieme di punti di misura nidi a J, non 

 sia definita, ponendo ad es : 



J f(x)dx = //(*)«**, 

 J J 



quando T integrale del secondo membro esiste. 



I)' ora innanzi parlando di funzioni sommabili intenderemo 

 sempre di riferirei a funzioni, alle quali siano applieabili le pre- 

 cedenti definizioni, quando non Lo sono quelle di Lebesgue. 



Si riconosce immediatamente che per 1' integrale come so- 

 pra generalizzato sussistono le sei proprietà che Lebesgue pone 

 a fondamento del problema d' integrazione ; solo è da tener pre- 

 sente che non sempre una funzione misurabile non limitata è 

 sommabile. Così se F i {x), F 2 (x) sono funzioni misurabili defi- 

 nite e finite nei punti di (a, b), fatta al più eccezione per quelli 

 di un insieme di misura nulla, quando esse siano sommabili , 

 tale risulta la loro somma, e si ha : 



j F t (x) -f F, (x) I dx = / F i (x) dx -f / F 2 (x) dx, 



ma potrà 1' integrale del primo membro esistere senza che esi- 

 stano i due integrali del secondo. 



Qualche spiegazione aggiungiamo ancora riguardo alla sesta 

 delle suddette proprietà, la quale, nel caso di funzioni misurabili 

 limitate, si esprime dicendo senz 1 altro che se f v (x) tende crescendo 

 ad f (x) , V integrale di f, (x) tende all' integrale di f (x). 



Considerata qui una successione di funzioni misurabili F y (x), 

 ognuna definita e finita nei punti di (a, b), fatta al più eccezione 

 per quelli di un insieme di misura nulla, tendente, crescendo, fatta 

 ancora eccezione al più per un insieme di punti di misura nulla, 



