Sulle funzioni sommabili. 



13 



concetto d' integrale delle funzioni non limitate, completato nel 

 modo ora detto. (*) 



3. Il ragionamento col quale alla fine del § precedente ab- 

 biamo provato che, se la F (x) è sommabile, tali sono le F\ (x), 

 si può facilmente applicare al caso che le F v (x), invece cbe 

 tendere crescendo ad F (x), vi tendano colla condizione che sia 

 nei punti di C ab (h) : 



I (m) | ^ | F{x) | (v = 1,2,. . . . , oo) : 



basta perciò considerare le funzioni 3> v (x), *f v (x), che da F v (x) 

 si ottengono come nel § 1 le tp„ (x), <\>„ (x) da f„ (x), ed osservare 

 che, per ogni v fisso, qualunque sia n, si ha : 



l 4>v.» {so) dx <J ^ | F(x) | <J,r 

 C„ h (H) C ab (B) 



l | 4 r v , M (ar) | </.* | | F{x) | 



Cat>(#) Cab(R) 



ove le <I> V ,„ (;r), T v (( (./■) s'intendono dedotte da F v (x), per i punti 

 di C a b{H), nello stesso modo che le/',, (.r) nel § 2 da /'(■#). 



Si dimostrano così sommabili (§ 2) le $ v (#), *fv (■'')• Tale 

 deve quindi essere anche la F v {x). 



Tenendo presente questa osservazione si può ora dedurre, 

 da quanto è stato detto nei due precedenti §§, il seguente teo- 

 rema. 



/Se le funzioni misurabili 



F v (a?) (v = l,2, ....,oo) 



ognuna delle quali è definita e finita nei punti eli (a, b) , fatta al 

 più eccezione per quelli appartenenti ad, un insieme di misura nul- 



(*) Cfr. Moobk, 1. c. 4. 



