Sulla risoluzione in numeri interi dell" equazione z 2 = 8y* -f- z * 



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Ed allora dalla t'orinola [T. (104)]: 



2 2 | ,,2 2 



o . p . . = p. p + lo. a 



si trae 



/ 1 A \ 8 * ' i « 8 9 8 2 



( 14 ) -v, j+i = .v { x„ 4- 2y, « y« «W • 

 Nell'ipotesi i=u, questa, la (12) e la (9) danno le t'orinole : 



(15) x -zu — x n + 2 ^ 4 . v 2>1 = — x n y n s n , z 2n =;8y* - «J , 



che permettono di determinare la soluzione d' indice 'In, nota la soluzione d' indice n. 

 Mutando in (14), (10) e (9) // in n -f~ 1 e i in n si ottengono le forinole : 



2 2 I r, 2 2 2 2 



/ , \H 2 2 2 2 . H ^ 2 ^2 _ n 2 2 



che dànno la soluzione d' indice 2n-\- 1 per mezzo delle due soluzioni d' indici 11 ed n -f- 1. 



Sono poi notevoli per la loro semplicità le forinole che si traggono da (14), (10) e 

 (9) assumendo /' == 1 : 



x , x , , = 9x 2 -f- 2s' 2 , 



(17) 



esse legano tre soluzioni consecutive. 



- 1 ) y M _j 3' )i+1 = 3v - *„ , ( - 1 ) 8 n-\ ~n+x = 3 n — 8y„ ; 



4. Una soluzione qualsivoglia della (4) si esprime facilmente per una soluzione della (1). 

 Difatti, da (8), (13) e 3 a (7), tenendo presente la 3 a (15), si deduce: 



(\R) p = x , = y 0- t — 8v 4 — ^ 4 . 



Non così semplicemente si esprimono le soluzioni della (2) per le soluzioni della (1). 

 Ricorrendo alle forinole [T. (102), (103)]: 



(— 1 > H r 2» = T n S n X n + ?n °n K . r gK+ , = Pn+ , t n + ^ 5„ t^, , 



( ^ S 2n = r n S n X n Pn °m ' ( + 5 2m+1 = Pw+1 °n+\ l n V n S n X n+\ ' 



si ha 



( ~~ ; 2n ^2w+l ^2» 5'2k , *'2»*+] ' ^ ^ r 2n+l ' 3'2n+2 ^2w+l -^m+I ^M+2 ' 



( 1) S 2n y- 2 n+l 3 2n ~f~ -^2n 'Sn+l 1 (~ 1) s 2n +l ~ >'2i?+2 ~2m+1 ~\~ ~ V 2it+l ^gn+S » 



