Sulla risoluzione in numeri interi dell' equazione x 2 = 8y 4 -f- z' 1 



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La soluzione {oc, y,,&) della (1) si ottiene dunque o da una soluzione della (4) per 

 mezzo delle forinole (5) o da una soluzione della (2) per mezzo delle (6). Si riconosce poi 

 subito che, inversamente, le soluzioni della (4) e quelle della (2) danno due classi ben di- 

 stinte di soluzioni della (1), perchè y per le prime è sempre pari (tale essendo a) e per 

 le seconde è dispari (tali essendo r ed s). 



2. Noi abbiamo fissato opportunamente i segni che compongono le soluzioni della (2) 

 e della (4), come pure abbiamo ordinato le soluzioni della (12) per valori crescenti di r, 

 e quelle della (4) per valori crescenti di p [T. art. 29 e 30]. Fisseremo ora i segni dei 

 numeri x n , y n , s n che compongono una soluzione della (1), e l'ordine delle soluzioni as- 

 sumendo : 



j = P» 4" 2 °» • j'f» = — P»°n > ' «a* == *u , 



(7) («=0,1,2,...) 



cosicché x n si suppone sempre positivo. 



Avendo dimostrato [T. (78)J che si ha 



pì + 2o» -- p 2)l , 2ri + s 4 „= Pa» + i 



risulta sempre 



(8) - x n = Pn , 



quindi le soluzioni della (1) restano ordinate per valori crescenti della x, 



Tenendo presenti i vaioli delle prime soluzioni di (2) e (4) [T. tabella] si ha: 



#o= 1 , 3'o = , s = — 1 ; x i = 3 , v t = — 1 , i = 1 ; 



x 2 = 113, v-> — 6, s t = — 7 i ^3 = 57123, y 3 = — 13, s 3 = 239 ; 



3. Proponiamoci ora di liberare la risoluzione dell'equazione (1) dalla conoscenza 



delle soluzioni della (2) e della (4). A tal uopo richiamiamo in primo luogo le forinole 

 [T. (98), (99), (104), (105)]: 



. . „2 .2 2 -2 Jt ì . . 2 2 2 2 2 * 



tn _ i t n+ i -\t n - 8 Pi o i r n s n , t n _. t n+i+1 = 8r. Si 9n+ì a n+1 - /: T ; +1 , 



\-i X n+i = X ! X l - 8 Pi °. 2 Pn °l > Vi VM-1 = *i t% n ~ 8 P? 5 . ? r l S l 



ne deduciamo, in virtù delle (7) : 



22 q22 o22 22 



•^2*1-21+1 S 2n+2i+l B 2i S 2n+l -^n+l ' ^M-jW+l 3 2n+2i+Z — ^i+i 3' 2 n+2 ~" s Zi+\ B 2n+Z > 



^2n-2i ^n+2» ^2i ^2m ^Vgi J^n ' B 2n-2i 3 2n+2i+2 = S 2i+\ 3 2n+l ^2i+l y 2n+l > 



