9 



M. Cipolla 



| Memoria I.] 



le forinole (3) di Euler, ma si dimostrerà che esse non danno le soluzioni della (2) sotto 

 forma primitiva (cioè con numeri primi tra loro); anzi si vedrà che il massimo commi 

 divisore dei primi membri (3), quando (x, y, s) è una soluzione primitiva della (1), è 

 un valore di y in un'altra soluzione della stessa (l). Ma l'importanza delle relazioni (3), 

 come di altre analoghe per le tre equazioni, viene quasi a mancare al fine della loro ri- 

 soluzione, poiché per la risoluzione ricorrente ed autonoma della (1) — come già per 

 quella delle equazioni (2) e (4) — troveremo qui anche forinole eleganti e vantaggiose. 



1. Sia (x, y, s) una soluzione qualsivoglia della (1), intera e primitiva (come sem- 

 pre si supporrà). Dalla stessa (l) si deduce che x e 3 devono essere della stessa parità, 

 ma non possono essere entrambi pari, perchè in tal caso y sarebbe dispari e quindi 8>' 4 — (-^ 4 

 un multiplo di 8 secondo un numero dispari, mentre, per la (1), 8y 4 -|- 3* è un quadrato. 

 Pertanto x e 3 sono entrambi dispari. Ed allora, se [ x | E l (mod. 4) si ha dalla (l): 



| X | — (— 3^ | X | — 3' ' 4 



ed essendo i fattori del primo membro interi, positivi e primi tra loro, ciascuno di essi è 

 un biquadrato. Si può quindi porre : 



| *| + 8* = 2p 4 , | x | — 3* — W , 



e se ne deduce 



(5) x = ± (p 4 -f ^° 4 ) , y = ± P° , 3=±x 



essendo (p, a, t) una soluzione della (4). 



Se invece è \x\ == — 1 (mod. 4) risulta 



X | + 3 2 | X | — 3' 



e poiché i fattori del primo membro sono interi, positivi e primi tra loro, ciascuno di essi 

 è un biquadrato. Si può quindi porre : 



| x | + 8* = Ar 4 , | x | - 3* = 2s* , 



e se ne trae 



(6) x=±(2r i ^ r s i ), y = ±rs, 3=±t, 



essendo (r, s, t) una soluzione della (2). 



