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Prof. V. Potava 



[Memoria IX]. 



Poiché, come s' è notato , uno dei semi assi della ellisse sezione del piane; % con la 

 ellissoide d'elasticità è uguale ad -=y, esso giacerà necessariamente sul cono (3). 



Se inoltre si esclude che lungo la direzione considerata possano propagarsi due vi- 

 brazioni con eguale velocità — si esclude cioè che quella direzione sia relativa ad un asse 

 ottico del cristallo — , e manifesto che nessun'altra generatrice del cono potrà giacere sul 



piano 7C , poiché , ove ciò avvenisse, un altro raggio vettore della ellisse sezione di tc 



i i 

 con l'ellissoide sarebbe eguale ad — e tale ellisse sarebbe un cerchio di raggio — : lungo 



la direzione data si potrebbero quindi propagare con una stessa velocità tutte le vibrazioni 



del piano ~ e la direzione sarebbe quella di un asse ottico. 



La direzione «p? si rilega cosi alla grandezza V delle velocità di propagazione lungo di 



essa mediante la condizione geometrica che il piano 



(4) a.v + pv -f 1- = 



normale alla direzione data , sega il cono (3) secondo due generatrici coincidenti , o , ciò 

 che è lo stesso, è tangente a questo cono lungo una sua generatrice. 



Considerando per i punti di tali generatrici solo le coordinate x ed y, esse saranno 

 manifestamente rilegate dalla relazione ottenuta con la eliminazione della s fra le equa- 

 zioni (3) e (4), cioè dalla relazione 



( V 2 - a') -f ( V 2 - b 2 ) y 2 + ( V 2 - c 2 ) l^ffi 2 = , 

 che, sviluppando, diventa : 



(5) fi* (V'-cr)^ r o.-(V ì -r)\x- -f \f (V - b*) ^{V 2 - c*\y* + a(3 ( V 2 - c 2 )2xy = 0. 



E poiché le coordinate x ed y d'un punto dello spazio coincidono con le coordinate 

 della sua proiezione sul piano xy, la relazione (5) rappresenta l'equazione delle proiezioni 

 sul piano xy delle generatrici doppie di contatto del piano ~ col cono. 



La condizione che il piano it tagli il cono secondo due generatrici coincidenti si tra- 

 duce quindi in condizione analoga per le corrispondenti proiezioni delle generatrici sul 

 piano xy, cioè nel doversi il primo membro di (5) ridurre ad un quadrato perfetto. 



Dovrà così il coefficiente di 2xy in tale equazione essere il prodotto delle radici qua- 

 drate dei coefficienti di x 2 ed y 2 , cioè : 



«P ( V % — c 1 ) = \/y-{V 2 — a 2 ) + cr [V- - r) . |/ f (V 2 - b 2 ) + p 2 (V 2 - c 2 ) 

 «2 lyt _ é y = { y B(p»_ a 2 } -Lr(r-C 2 )|. j f (V 2 - b 2 ) + (3 2 (V £ - C 2 ) J - 

 Sviluppando : 



4 (V*-a z) (V 2 — 6 a )4"Y 2 P 2 ( V 2 -a 2 ){V 2 -c 2 )+y 2 a 2 ( V 2 - c 2 ) ( V 2 - b 2 )-\-a 2 $ 2 {V 2 — c 2 ) 2 =cc 2 p 2 {V 2 ~c*f 



cioè 



f(V 2 -a 2 )(V 2 — b 2 ) -f f P 2 (F 2 — a 2 )(V 2 — c 2 ) + y 2 a 2 (V 2 — c 2 ){V 2 — b*) = 



