Giorgio Aprile 



[Memoria X.] 



Nella terza, ed ultima parte, si studiano le Y razionali d'ordine 6, le cui co 1 qua- 

 driche giacciono in spazi formanti un inviluppo di classe 4. 



Per le Y degli ordini «<^5 ci limitiamo ad osservare quanto segue. 



1) . Per n~2, Y è una iperquadrica. 



2) . Per n = 3, Y ha un piano doppio ( 3 ) se le sue quadriche sono "oo* ; ha un solo 

 piano semplice (o più, ma in numero finito) se le sue quadriche sono co l . 



3) . Per v = 4 : 



Se le quadriche di Y sono co % la ipersuperficie sarà un S cono che proietta dal 

 vertice S una superficie di Steiner (*); le quadriche relative sono quindi coni aventi lo 



stesso vertice S„. 



Se invece le quadriche di Y sono co 1 possono darsi i seguenti due casi: 

 F dotata di un piano doppio ; varietà nota ( 5 ). 



r proiezione della completa e particolare intersezione di due iperquadriche di S 5 . 

 E la varietà razionale rappresentabile, in S 3 , dal sistema di superficie cubiche, determi- 

 nato da una quintìca ( a ), degenere, che sia intersezione parziale di una quadrica con una 

 superficie cubica irriducibile. Discende facilmente che l' inviluppo degli spazi delle quadriche 

 di ciascun fascio, di quest'ultima Y, è della seconda classe, ed ogni spazio del predetto 

 inviluppo, seca Y in una coppia di quadriche ( 7 ). 



I. 



Alcune proprietà delle ipersuperficie, dello spazio a quattro dimensioni, 



con infinite quadriche. 



1. ■ Detta r una ipersuperfìcie, dell' Sj , d'ordine ;/ > 4 e dotata di infinite qua- 

 driche V s , generalmente non specializzate, è noto : 



a) Le V z formano ( 8 ) un fascio (K). 



b) Indicando con (11) l'inviluppo degli spazi delle predette V s , con |t la classe di 

 (II), con 5 il numero delle Y s esistenti in uno generico degli spazi di (II), e con l' il nu- 



( 3 ) SEGRE. Sulle varietà cubiche dello spazio a quattro dimensioni ecc. [R. Acc. delle Scienze, „ Torino, 

 S. II. T. XXXIX. (i888)J. 



(*) ENRIQUES. Sui sistemi lineari di superficie algebriche ad intersezioni variabili iperelliitiche [Math. 

 Annalen Bd. 46.] 



( 5 ) MARLETTA. Sulle varietà del quarto ordine con piano doppio dello spazio a quattro dimensioni 

 [Giornale di Matematiche, Napoli, Voi. XLI, (1903)]. 



( 9 ) ENRIQUES 1. c. (4). — La ipersuperficie rappresentabile dal sistema predetto, con quintica base ir- 

 riducibile, non ammette evidentemente alcun fascio di quadriche; perchè esista, almeno, uno di questi fasci 

 è necessario che si stacchi, dalla quintica base, almeno una retta. Per la dimostrazione si proceda analoga- 

 mente ai n. 7 e seguenti. 



C) Si omette per brevità uno studio sistematico e particolare della succennata T. Agevole del resto riu- 

 scirebbe tale studio, bastando, per esso, esaminare e sfruttare i casi del sistema rappresentativo sopra ri- 

 portato, e della relativa quintica base degenere. 



Molte proprietà, della predetta I\ discendono, del resto, da quelle, note, dalla varietà completa e gene- 

 rica intersezione di due iperquadriche di Ss , varietà che non contiene, in generale, alcun sistema di quadriche. 



(*) CASTELNUOVO e ENRIQUES. Sopra alcune questioni fondamentali nella teoria delle superficie alge- 

 briche. [Annali di Matematica, serie 111, voi. VI (1901), n. 17; e DE FRANCHIS. Le superficie irrazionali 

 di 5 ordine con infinite coniche [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, serie V, voi. XV (1906)]. n. 1. 



