Su alcune ipersuperficie razionali, dell' S 4 , d'ordine 5 n 6, ecc. 



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mero dei piani doppi (almeno) per la T, e tali che ognuno di essi, contato due volte, sia 

 elemento di (K), si ha: ( 9 ) 



4n+ 1 8' 



ÒS 5 



c) Detto p c il genere della curva sezione generica di F con un qualunque piano 

 w, pi il genere della involuzione 7| che le quadriche di (K) segnano su detta curva, ed 

 indicando con ò* il numero dei punti doppi della I' s , si ha : 



t=2 (pe + V— 4P, 



2n = 2\>.s ~f 3 -f- 21' 



d) Si ha infine: ( 10 ) 



II fascio (K) possiede 4n — 6\ls — 6^' coni quadrici. 



Ogni cono quadrico di (K) il cui vertice sia un punto doppio per V , conta 

 per due fra i coni quadrici di (K). 



2. Sempre per T d* ordine n > 4 si ha inoltre : 



a) r non è luogo di oo 1 piani, poiché esisterebbero allora rigate (le sezioni spa- 

 ziali) d'ordine rì>4, dotate di co 1 coniche, ciò che evidentemente è assurdo. 



b) Se r possiede due o più fasci di V 2 le sezioni spaziali sono (Noether) 

 superfìcie razionali, epperò ( u ) è T razionale. 



3. Dalle proprietà accennate al n. 1 e da quanto è noto intorno alle superficie con 

 infinite coniche si può ancora stabilire, ed anche facilmente dimostrare quanto segue. 



Nel caso che l' inviluppo degli spazi di (K) appartenga ad una S -stella di centro V : 



a) se V non appartiene a T è n = ; 



ìuS 



b) se V è / — pio per T , ma non è punto base del fascio {K) (* : 



2s ' 

 n — l 



c) se V è / — pio per T con l> 2 ed è punto base di (K) allora \i = ; si no- 

 ti che se {K) ha oltre V un altro punto base valgono i risultati precedenti ; mentre per 

 un terzo punto base si ha sempre jx = 1 ; 



d) osserviamo infine che se V è punto base del fascio (K) ed è s=l , esso non 

 può essere semplice per T, poiché ne seguirebbe \l=u — /, e ciò è assurdo (n. 1, b). 



Nel caso in cui l' inviluppo degli spazi di {K) appartenga ad una Si-stella di centro 

 v si ha analogamente: 



n 



e) se la retta v non appartiene a Y è |x = 



2s ' 



« — / 



f) se V è l — pia per T, ma non è retta base del fascio (Kj è |t = 



g) se v è /— pia per T con />i? ed è retta base per (K) è j*. = 



2s 

 n—l 



(*) MARI.ETTA I. C. n. 5. 



('•) MaRletta I. c. (1), n.i 6 e 7. 



(") FANO. Sulle varietà algebriche a tre dimensioni a superficie sezioni razionali. [Annali di Mate- 

 matica, tomo XXIV, serie 3. (1915)]. 



