(Memoria X.J 



h) se la v è retta base del fascio (K) ed è s=l, essa non può essere retta sem- 

 plice di r, poiché ne risulterebbe |x=w — /, e ciò è assurdo (n. I, b). 



. k) se [K) ha oltre la retta v un punto base non appartenente a questa, è |* 1. 



4. Il procedimento che segue ci dà modo di costruire ipersuperficie con infinite V\ l 

 e d' ordine qualunque. 



Siano (II) e (y) due sistemi irriducibili oo 1 di spazi il primo, e di iperquadriche (ge- 

 neralmente irriducibili) il secondo: dicansi nevi loro indici. Supponiamo una corrispon- 

 denza (p, s) fra i loro elementi; il luogo delle quadriche comuni a due elementi omologhi 

 è una varietà T con oo 1 quadriche. Queste sono tali che ogni spazio di (II) ne contiene s 

 e ad ogni iperquadrica di (x) ne appartengono J>. 



L" ordine di V (irriducibile o no) è n—2\is-{-vp. Generalmente la multiplicità di T 

 per un punto base, soltanto per (y) è [ìs, per (II) è vp, per un punto base per ambedue 

 è |is-fv/>. 



Se (II), (y) e la data corrispondenza (p, s) non sono generici, dalla varietà T gene- 

 rata nel modo suddetto , potranno staccarsi uno o più spazi, rimanendo una ipersuperfi- 

 cie r*, con infinite quadriche, d'ordine «'<( «. 



Viceversa , data T* si scelga un punto generico A, si proiettino da A le quadriche 

 di (Kj, si otterrà un sistema (y) oo 1 di S -coni quadrici. Se ri è 1' ordine di T*, il siste- 

 ma (y) è d'indice v— ri\ perchè una retta generica, condotta per A, seca T* in ri punti 

 per ognuno dei quali passa una (sola) quadrica di (K), la quale proiettata da A dà un 

 S -cono di (y). 



Inoltre dicendo corrispondenti uno spazio del sistema (II) formato dagli spazi delle 

 V 2 di (K) , ed un S -cono di (y) ogni qualvolta hanno in comune una quadrica di T*, 

 fra gli elementi di (II) e quelli di (y) esiste una corrispondenza (/, s). E se IIj è uno dei 

 \i spazi di (II) passanti per A, ogni suo S,.,-cono corrispondente coincide con n t stesso, 

 contato due volte; per cui il luogo della V 2 comune a due elementi omologhi di (II) e di 

 (y) è costituito dalla r* e da jx spazi di (II) passanti per A. Cioè: 



Ogni ipersuperfìcie con infinite quadriche può essere considerata come il luo- 

 go della superficie comune a due elementi corrispondenti in due sistemi oo 1 , uno 

 di spasi ed uno di S coni quadrici aventi questi, uno stesso vertice , a prescin- 

 dere da un certo numero di spasi passanti per questo medesimo punto. 



II. 



Le ipersuperfìcie razionali d'ordine 5 con fasci di quadriche i cui spazi 

 costituiscono inviluppi di classe (•>• — 3. 



5. Sia r una ipersuperficie razionale di S 4 , d' ordine n = 5, le cui V s formino un 

 fascio (AT), necessariamente razionale, e tale che gli spazi delle medesime costituiscono 

 un inviluppo di classe \i=3. Una sezione spaziale generica di tale ipersuperficie è dotata 

 di un fascio di coniche i cui piani generano un inviluppo della terza classe, epperò ( 12 ) : 

 la T è a sesioni piane ellittiche. Ne segue ( 13 ) che la sezione spaziale generica di T 



(«) MARLETTA, 1. C. (a) n. a?. 

 ( 1S ) MARLETTA, I. C. (a) n. a8 e 29. 



