Su alcune ipersuperficie razionali, dell' S 4 , d' ordine 5 o 6, ecc. 



5 



e una superficie di Caporali (dotata cioè di 5 fasci di coniche, i cui piani formano invi- 

 luppi ciascuno di classe 3, di quintica doppia e punto triplo su questa, ecc.). Si conclude 

 pertanto : 



La varietà razionale V d' ordine 5 , con un fascio di quadriche i cui spasi 

 costituiscono un inviluppo della classe tre, ammette una superficie d' ordine 5 

 doppia, ed una retta tripla su questa. 



Una costruzione di ipersuperficie siffatte si ottiene (n. 4) assegnando, in S 4 , una omo- 

 grafia tra un inviluppo razionale di spazi (II) di classe |i=3, ed un fascio (/) d' iperqua- 

 driche, con la condizione che due spazii di (II) siano tali che ognuno di essi faccia parte 

 della sua iperquadrica (degenere) omologa in (/). 



Ovvero assegnando una omografia tra (II) ed un sistema oo 1 (yj d'indice v = 2 d 

 iperquadriche, con la condizione che tre spazi di (II) siano tali che ognuno di essi faccia 

 parte della sua iperquadrica (degenere) omologa in (yj. 



6. E noto ( u ) che ogni varietà f", a tre dimensioni, a curve sezioni piane ellittiche 

 e d' ordine n=5 è normale in S 6 , e si può rappresentare (per proiezione da una sua co- 

 nica C s ) in un S 3 , in modo che le sezioni iperpiane abbiano per imagini le super- 

 ficie cubiche del sistema determinato da una quartica di 2* specie (che può de- 

 generare). 



I 3 I 



Indicheremo: con a 3 lo spazio rappresentativo di T',— con | Xc 4 1 o semplicemente |X 3 

 H predetto sistema di superficie cubiche, — con c 4 la quartica base di questo, — con X. 3 

 una generica superficie del sistema, — e con c r , le curve, d'ordine 5, ulteriore interse- 

 zione di due generiche X*. 



Sia c 4 irriducibile : ne segue che il sistema | Xc 4 1 contiene una sola quadrica q 2 , 

 residua di ciascun piano, di o 3) rispetto al sistema |X 3 |; quadrica imagine della conica 

 C 2 di V. — Risulta pertanto che la varietà V non può ammettere infinite sezioni iper- 

 piane riducibili, cioè: nel caso di c 4 irriducibile la V, rappresentata dal sistema 



|X C J, (epperò ogni sua proiezione generica) non può ammettere alcun sistema di 

 quadriche. 



Si conclude dunque che la varietà V, di cui è proiezione ( 15 ) la ipersuperfìcie 

 T del n. precedente, è rappresentata da un sistema | Xc 4 1 con curva base c 4 de- 

 genere. 



7. In questo n° vengono stabilite alcune proprietà della V rappresentata dal sistema 



j > 3 | 



| A.c 4 I, a curva base c 4 irriducibile, e ciò allo scopo di premettere quelle proprietà, al- 

 cune delle quali note, ( 16 ) che ci riusciranno utili in seguito. 



a) A ciascun punto della curva fondamentale c 4 corrisponde, sulla varietà, una retta, 

 /'/ luogo di siffatte rette è una rigata d' ordine 10, e ciò perchè 10 sono i punti che 

 ciascuna c 5 di |X 3 | ha sulla curva fondamentale c 4 . Alle corde della c 4 corrispondono 

 rette di V, e ciascun cono (cubico) proiettante c 4 , da ogni suo punto, è imagine di una 

 rigata d' ordine 5 , sezione iperpiana della F. — Ne segue : La varietà V ammette 

 oo 2 rette, tali che per ogni suo punto ne passano tre, rette distribuite in oc 1 ri- 



( u ) ENRIQUES, 1. c. ( 4 ). 



C 5 ) SCORZA. Le varietà a curve sezioni ellittiche [Annali di Matematica, Milano, Tomo XV, Serie 1(1. 

 (1908)], n. 1. 



C 6 ) SCORZA, I. c. (15) § II. 



