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Giorgio Aprile 



[Memoria X[' 



gate a V ordine cinque, formanti, ciascuna, sezioni iperpiane di V ; ognuna di que- 

 ste rette appartiene a due delle dette rigate. Un iperpiano generico contiene 10 

 rette del sistema sudetto. 



Si osservi difatti che ogni iperpiano generico seca V in una superficie razionale nor- 

 male, d' ordine 5 (a sezioni piane ellittiche) rappresentabile nel piano dal sistema lineare 

 oo 5 1X1234 1 delle cubiche passanti per quattro punti: superfìcie che ammette 10 rette, cin- 

 que fasci di coniche, i piani di ognuno dei quali costituiscono una varietà d'ordine tre ( H ) 

 ecc. Indicheremo con y' siffatte superfìcie. 



Si osservi ancora che le 00 4 rette di o 3 sono imagini di cubiche gobbe di Y\ le oo 3 

 rette incidenti c 4 sono imagini di coniche della varietà, e coniche di questa rappresentano 

 pure le co 1 coniche incidenti in quaterne di punti la c K . Cioè: 



La Y' ammette un sistema oc 4 di coniche tale che per ogni coppia di suoi 

 punti generici ne passa una sola ( 18 ), ed ogni iperpiano, pure generico, ne con- 

 tiene oo 1 distribuite in cinque fasci, ciascuno formato da coniche i cui piani co- 

 stituiscono una varietà d'ordine tre ( 19 ). 



Ed anche: qualunque varietà razionale (a tre dimensioni) a sezioni iperpiane 

 generiche che siano superfìcie 7', coincide con la Y di cui sopra. Difatti una tale 

 varietà è a sezioni piane ellittiche, e quindi (n. 6) rappresentabile nel sistema | X c< j. 



b) Ragionando in modo analogo sulla ipersuperficie T, proiezione su un generico 

 ,S 4 della T', si può stabilire che: 



Qualsivoglia ipersuperfìcie razionale di a sezioni spaziali generiche che 

 siano superficie di Caporali coincide con la Y succenuata, epperò (n. 6) è proie- 

 zione della Y' di S 6 rappresentata dal sistema | Xe 4 1, dove la quartica base, di 2 a 

 specie, può anche degenerare. 



Proiettando Y da una retta generica di S 6 , sopra un S 4 , pure generico, e ricordando 

 le note ( 20 ) proprietà delle sezioni iperpiane generiche 7'; segue: 



La ipersuperficie Y di S 4 , proiezione della Y' di S 6 ammette : un sistema oo 2 

 di rette, tale che per ogni suo punto ne passano tre ; - ■ oc 1 coniche tali che uno 

 spazio generico ne contiene oo 1 distribuite in cinque fasci, i piani di ciascuno 



( 17 ) MARLETTA, 1. C. (13). 



C 8 ) MONTESANO. Sui vari tipi di congruenze lineari di coniche dello spazio. [Rend. Acc. Scienze, 

 Napoli (1895 1] Nota II. Vedi anche SCORZA, I. c. (16). 

 ( ,9 ) Direttamente si può dimostrare nel modo seguente. 



La quadrica q 2 e ciascuna superficie X 3 si secano ulteriormente in due rette (trisecanti della t 4 ) sghembe; 

 ne segue che le 5 rette, sghembe fra loro, della X 3 incidenti questa coppia di rette sono le sole, della pre- 

 detta superficie cubica, che non si appoggiano alla Epperò le coniche , ulteriore intersezione della X 3 con 

 piani passanti per ciascuna retta della quintupla predetta, rappresentano coniche della sezione iperpiana di 

 T' corrispondente alla X 3 che si considera ; si conclude che una sezione iperpiana generica di T' ammette 5 

 fasci di coniche. 



Ciascuna retta r della predetta quintupla è imagine di una cubica gobba di V, e precisamente di una 

 cubica della sezione iperplanare y' rappresentata dalla X 3 che si considera. Alla involuzione che le coniche di 

 questa sezione secano su tale cubica c 3 corrisponde quella secata sulla r dalle coniche, sezioni della X 3 con 

 i piani del fascio (r). Ne segue che ciascun S K , passante per I' 5 S della cubica predetta e giacente nell'iper- 

 piano della superficie y', seca la varietà luogo dei piani (sistema c» 1 ) delle coniche di questa superficie, 

 nella rigata, (quadrica) di corde della c 3 , traccia di questi piani sull' S 3 predetto, e nel piano dell' unica co- 

 nica ulteriore intersezione di f' col detto S 4 . Si conclude quindi che tre è I' ordine della varietà luogo degli 

 oo 4 piani predetti. 



(*•) MARLETTA, I. c. (13). 



