Su alcune ipersuperficie razionali dell' S 4 , a" ordine 5, o 6, ecc. 



7 



dei quali costituiscono un inviluppo della tersa classe; formanti cioè la super- 

 ficie di Caporali, sezione spaziale generica di Y. — Questa ipersuperficie ammette 

 inoltre una superficie doppia q>, a" ordine 5, dotata di retta tripla, superficie a 

 sezioni spaziali razionali, epperò rigata. 



Evidentemente questa rigata ammette la retta anzidetta quale direttrice tripla, ed una 

 conica non cospaziale con essa, quale direttrice semplice. 



8. a) Sia la c 4 , base del sistema | Xc 4 , spezzata in una cubica gobba e. ed infuna 

 retta a (incidente in un sol punto la c 3 ). La V rappresentata dal relativo sistema | la,c 3 \ 

 possiede un fascio (K) di quadriche V 2 , le cui imagini sono date dai piani del fascio (a). 



Si osservi difalti che ogni piano a di tale fascio seca ulteriormente due qualsiasi X 1 

 in due coniche che si appoggiano (in generale) alla c 3 nei soli due punti in cui a seca 

 detta curva fuori di a. Ne discende inoltre che qualsiasi c h (n. 6) del sistema |X 3 | incon- 

 tra o (fuori della retta a) nella coppia di punti, in cui le due predette coniche si incon- 

 trano fuori della c 3 ; cioè: la retta a risulla tri secante qualunque c- del sistema \V\ 



Sia co un generico piano trisecante T', ed A, B, C le imagini dei tre punti uV. Af- 

 finchè to incontri /'S ;i di una Vo, di (A) occorre e basta che tale V2 ed il piano w ap- 

 partengano ad un medesimo iperpiano ; epperò- i tre punti A, B, C ed il piano a di (a), 

 imagine della data l',, appartengano ad una slessa X 3 . — Ciò è evidentemente impossi- 

 bile .se o non passa per alcuno dei punti A, B, C, perchè questi e la cubica c s non giac- 

 ciono, in generale, in una medesima quadrica ; sicché le imagini delle sezioni iperpiane 

 ognuna passante per una V2 di (A) e per i tre punti col"" sono: 



a A h ECc~ ' o,B K CÀc 3 ' K -aC ABc* 



eppetò : tre è 1' ordine della varietà, di S 6 , generata dagli ce 1 S s delle V s di V. 



Dal fatto che ciascuna c b risulta trisecante la retta fondamentale a, segue che la ri- 

 gala, luogo delle rette di T' coi rispondenti ai punti di a, è d'ordine tre. In modo analo- 

 go a quello tenuto nel n°. precedente, si può dimostrare che: la T' rappresentata dal 

 sistema |X a c 3 | ammette: due sistemi ( 81 ) oo 2 di rette, l'uno formato dalle rette 

 delle V 2 di (A"), e V altro tale che per ogni punto di T' passa una sola retta di 

 questo, ed un sistema oc 4 di coniche analogo a quello accennato nel u° precedente. 

 La varietà ammette inoltre, quali sezioni iperpiane generiche, super fide ? (n. 7 a). 



b) Proiettando da una generica retta di S„, sopra un generico S,, la V considerata 

 si ottiene, in questo spazio, una ipersuperfìcie T d'ordine cinque, — con un fascio 

 (A), di quadriche, i cui spazi costituiscono un inviluppo di classe \> =3, — e tale 

 che ogni sua sezione spaziale risulta una superficie di Caporali. - Detta iper- 

 superfìcie è dotata inoltre di mia rigala doppia tp, d'ordine 5, a direttrice tripla 

 ed animelle due sistemi rigali oo 2 , uno formalo dai sistemi rigati delle predette 

 quadriche, e 1' altro costituito da rette tali che per ogni punto della V ne passa 



( n ) Uno rappresentato dalle rette incidenti la retta a e la cubica gobba c 3 ; l'altro rappresentato dalle 

 corde della c 3 , epperò il secondo sistema di rette è luogo delle generatrici delle rigate cubiche che completano 

 con le quadriche di (IC), le relative sezioni iperpiane della T'. 



