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Giorgio Aprile 



[Memoria X.] 



una. Quest ultimo sistema è luogo delle oo 1 rigate ( w ) cubiche che completano le 

 se sioni di V con gli spasi dell' inviluppo (II). 



Particolarizzando la posizione della retta da cui si proietta T', sul dato S 4 , si pos- 

 sono ottenere casi particolari della ipersuperfìcie F : si omette, per brevità una tale trat- 

 tazione, nonché lo studio più particolareggiato della T di cui ci siamo occupati in questo n°. 



9. Sia la c 4 costituita da due coniche aventi un punto a comune, una delle quali 

 degenere f 23 ), cioè c 4 =abc 2 , la retta b incidente a e c s (ciascuna in un sol punto). La T' 



(3 ! 

 ^aòc t \ , ammetterà ancora un fascio di quadriche (K) 



i cui spasi costituiscono una varietà d' ordine tre: è quello rappresentato, in o 3 , dal 



fascio di piani (a). 



Si osservi difatti che poiché a non si appoggia alla c 2 , qualunque piano o del fascio 

 (a) seca ciascuna coppia di superfìcie X 3 in coppie di coniche, incidenti c 2 nella medesima 

 coppia di punti: i rimanenti due punti comuni a tali coniche sono i soli in cui ciascuna 

 c & seca detto piano fuori di a ; cioè questa retta risulta trisecante ciascuna c 5 . Ragionando 

 in modo analogo si può dimostrare che ogni piano del fascio (b) è imagine di una rigata 

 cubica ( 2t ) di F. 



11 piano p della conica c 2 , e quello delle rette a, b sono imagini, rispettivamente, di 

 due rette complanari m, n (formanti la C 2 da cui si proietta F" su o 3 , n. 6). 



Le sezioni iperpiane di tale V sono, come per i casi precedenti, superficie y'^ 

 Proiettando sopra un S 4 (da una generica retta di S 6 ) la V, si ottiene una ipersu- 

 perficie analoga a quella ottenuta nel n° precedente: per tal ragione si omettono ulteriori 

 particolari. 



10. a) Se d si spezza in 4 rette a, b, c, d distribuite in due coppie a, b\ c, d for- 

 manti due coniche degeneri aventi un sol punto comune , ad es. il punto bc , la V rap- 

 presentata dal sistema |X 3 ai , C(J | contiene due (soli) fasci di V 2 , rappresentati dai fasci di 

 piani (aj, (d) rispettivamente ( 25 ). — Si dimostra , in modo analogo a quello tenuto per 

 i precedenti casi che: 



— gli spazi di ciascun fascio di V 2 della P costituiscono una varietà d'ordine tre; 



— la rigata, d' ordine 10 rappresentata dai punti della c 4 fondamentale, si spezza 

 in due quadriche ed in due rigate cubiche (rispettivamente corrispondenti alle rette b, c f 



a, d;J 



— ciascuna sezione iperpiana generica è una superficie f'; 



— le oo 2 rette di T' sono distribuite nei sistemi rigati delle quadriche dei due fasci 



( 22 ) Le imagini delle superficie cubiche che completano con ciascuna l\ le sezioni iperpiane di V sono 

 quadriche per la c 3 ; epperò dette superficie cubiche sono rigale. 



( 23 ) Non consideriamo il caso di c k spezzata in due coniche irriducibili c 2 , c' 2< poiché la corrispondente 



varietà T' rappresentata cioè dal sistema A. , , non presenta alcun fascio di Va. Le principali proprietà di 



l c 2 1 



tale T' si possono, del resto, ricavare da quelle enunciate per la T' X , con ovvie considerazioni. Si os- 



I I 



servi qui, semplicemente, che alla coppia di piani delle coniche c 2 , c\ (piani formanti 1' unica quadrica per 

 Ci^.c 2 c' 2 ) corrispondono due rette complanari (che costituiscono la conica C 2 da cui si proietta T'su o 3 , n. 6). 



( 24 ) La retta b è corda di ciascuna c 5 del sistema rappresentativo, epperò è imagine di una quadrica dì 

 T'. — La rigata, d* ordine 10, formata dalle rette di F corrispondenti ai punti della c K (n. 7), risulta spez- 

 zata in questo caso, in una rigata d'ordine 5 (rappresentata dalla c s ì, in una d'ordine 3, ed in una d'or- 

 dine 2 (rappresentate rispettivamente dalle rette a, b). 



( 25 ) Con ragionamenti analoghi ai precedenti si dimostra difatti che le rette a, d sono trisecanti, mentre 



b, c sono semplicemente corde, di ciascuna curva c h . 



