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Giorgio Aprile 



| Memoria X.] 



tersezioni di F' cori iperpiani, di un sistema oo \ passanti per il piano 8. Ed osservando 

 che ciascuna retta di <?„ avente un (sol) punto sulla curva fondamentale, è imagine di 

 una conica di Y, risulta che la superficie di 4° ordine anzidetta ammette le oo 2 coniche 

 rappresentate dalle oo 2 rette del piano che si considera. — Notando inoltre che ciascun 

 piano del fascio (d) completa , con la quadrica per la c 4 = abcd, rappresentativa di C 2 , 

 una A 3 , si deduce che le superficie di 4° ordine , dianzi considerate, sono superfìcie di 

 Veronese. 



Queste ultime superfìcie fanno parte delle oo 3 superficie di Veronese, ulteriori inter- 

 sezioni della F con gì' iperpiani pei il piano (^) 1 , superficie rappresentate dal sistema 

 delle rigate cubiche aventi la retta d quale direttrice doppia, comune, ed appartenenti al 

 sistema ( 30 ) j X 3 1. Epperò : la Y' ammette oc 3 superficie di Veronese, i cui S 5 sono 

 tutti e soli quelli passanti per il piano 5. 



Cioè riepilogando : 



La ipersuperficie Y' , d' ordine 5, rappresentata dal sistema |A 3 ai)l . d |, «, b, c 

 sghembe fra loro ed incidenti la d, è dotata di tre fasci di quadriche, tali che gli 

 co 1 spazi di ciascuno di essi formano una varietà d' ordine tre. Detta V ammette 

 inoltre quattro piani appartenenti ad un medesimo iper piano, per il quale uno 

 di essi , il piano <5, è luogo di punti di contatto con la varietà; ( 31 ) mentre cia- 

 scuno dei tre rimanenti, contato due volte, costituisce una V % del rispettivo fascio. 

 Le ce* superficie , ulteriori inter sezioni della varietà con gl' iperpiani passanti 

 per ciascun piano di quest'ultima terna, sono rigate di ordine 4, delle quali oo s 

 costituite da coppie di quadriche appartenenti a fasci distinti; mentre le ulteriori 

 intersezioni , della medesima varietà, con gl' iperpiani per 8 sono superficie di 

 Veronese. — Una sezione iper piana generica della Y' è una superficie y . 



— b). Effettuando la solita proiezione si ottiene , in S 4 , una ipersuperficie Y, 

 d'ordine cinque, con tre fasci di quadriche, ciascuno tale che gli spazi delle sue 

 quadriche costituiscano un inviluppo di classe jj. =- 3, ed una rigata doppia «p, di 

 ordine 5, a direttrice tripla. Due quadriche appartenenti a fasci diversi hanno 

 una retta comune; mentre due quadriche del medesimo fascio non hanno alcuna 

 curva comune. La ipersuperficie ammette inoltre quattro piani, tre dei quali (e 

 ciascuno contato due volte) sono elementi dei tre fasci delle predette 7», rispetti- 

 vamente : — per ciascuno di tali piani passa una coppia di spazi ciascuno se- 

 cante ulteriormente Y in coppie di quadriche dei rimanenti due fasci: — le su- 



(* 9 ) Una conferma si ha dalle considerazioni seguenti. 



Gli iperpiani del sistema » 1 della superficie di VERONESE, rappresentata dal fascio (d), sono tutti e 

 soli quelli che forniscono Se sezioni di T', rappresentate ciascuna da un piano del fascio (d), piano residuo, 

 della quadrica per la c i =abcd, rispetto al sistema' delle X 3 ; ne segue, poiché questa quadrica è imagine 

 della C t di T' (n. 6), dalla quale questa si proietta su o 3 , che gli «' iperpiani delle superficie di VERO- 

 NESE sudelte formano ih fascio avente per base V 5 4 determinato dal piano % e da quello della conica C t 

 da cui T' si proietta, per la rappresentazione , in a. t . Dal fatto poi che C t è una qualunque delle coniche 

 della T', segue quanto è sopra stabilito. 



( ,0 ) Si osservi difatti che ciascuna c & ha un (solo) punto sulla direttrice doppia delle predette rigate 

 cubiche, sicché queste rigate rappresentano superficie di 4 ordine. — Ciascuna delle <» 2 coniche appartenenti 

 ad ogni rigata predetta, risulta quadrisecante la c 4 == abcd, epperò la superficie di 4 ordine, rappresentata 

 da ciascuna delle predette rigate X s , ammette j» 1 coniche: cioè è superfìcie di VERONESE. 



( 31 ) Discende da ovvie considerazioni sul sistema rappresentativo [X^^j. 



