Su alcune ipersuperficie razionali, dell' S 4 , d'ordine 5, o 6, ecc. 



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di rigate cubiche , tali che un qualsivoglia iperpiano, che contiene una rigata di 

 uno di questi due sistemi, seca ulteriormente r' in una rigata cubica del rima- 

 nente sistema; uno di questi sistemi oo* (il secondo) contiene <x> * rigale costituite 

 dal piano y' e dal sistema co 1 di quadriche predetto. 



Inoltre osservando che ogni cono quadrico, di o 3 , avente il vertice in H e passante 

 per la retta a, completa col piano y una X 3 , — gli co 1 iperpiani per y secano ulte- 

 riormente la varietà in rigate d' ordine 5, delle quali co 3 si spezzano ciascuna in 

 una rigala cubica ed in una quadrica. Siffatte rigate cubiche formano un siste- 

 ma oo -, mentre le quadriche residue generano il fascio di cui è dotata la varietà. 



Considerando quattro punti generici della r' e 1' S 3 da essi determinato, segue che 

 4 è V ordine della varietà generata dagli spasi delle co 1 V. 2 di V. 



Difatti considerando la quaterna di punti, a quelli corrispondenti, in o 3 , si ha che 

 ciascuno di questi punti proiettato dalla retta a dà un piano, che insieme alla quadrica, 

 passante per il punto E, per la conica c 2 e per la terna rimanente di punti, costituisce 

 una X 3 del sistema rappresentativo. La r', oltre del piano rigato y, contiene due sistemi 

 oo 2 di rette: uno, quello rappresentato dalle rette che si appoggiano alla retta a ed alla 

 conica c 2 ; Y altro luogo delle generatrici delle quadriche di r', generatrici rappresentate 

 dalle rette della stella (H) di o s ; ambidue questi sistemi di rette sono d'indice uno f 38 ). 



Si osservi inoltre che le oo 3 rette incidenti la c i =ac s , base del sistema |X 3 |, sono 

 imagini di coniche della r', e coniche di questa rappresentano pure le co * coniche 

 passanti per H ed appoggiatesi in due punti alla c 2 . 



Segue facilmente che per due punti generici della V passa una sola conica del si- 

 stema co* anzidetto. 



Si noti ancora che una generica sezione iperpiana della r' coincide con la nota su- 

 perficie y, rappresentata, nel piano, dal sistema |X 3 123 J. 



Un qualsiasi iperpiano passante per una generica V 2 della r' seca ulteriormente que- 

 sta varietà, in una superficie d'ordine 4, rappresentata, in o 3 , da una quadrica passante 

 per la conica c z e per il punto H. — Osservando che ciascuna quadrica siffatta contiene 

 co 1 coniche passanti per questo ultimo punto e bisecanti c 2 , segue che la superficie di 

 ordine 4, sopradetta, ammette oo 2 coniche, epperò è superficie di Veronese; cioè: la T' 

 gode la proprietà che ogni iperpiano, per un qualsiasi spazio di una sua gene- 

 rica V 2 , seca ulteriormente questa varietà in una superficie di Veronese, 



La T' ammette co 3 superficie di Veronese aventi a comune, due a due, una 

 conica. Dette superficie sono sezioni iperpiane residue rispetto alle co 1 V 2 della 

 r'; ciascuna di queste quadriche ha, sempre, una conica su ogni superficie pre- 

 detta. Gli iperpiani passanti per una qualunque di queste superficie di Veronese 

 formano un fascio secante ulleriomente r' in tutte e sole le co 1 quadriche di que- 

 sta. Il sistema predetto di superficie ammette oo 2 elementi spezzati nel piano y 

 ed in una rigata cubica normale del primo sistema oo 2 di cui è dotata la r'. 



Volendo mettere in evidenza i soli sistemi di superficie della F' si ha: 



La varietà V ammette: 1.) un piano; 2.) un sistema co 1 di quadriche ; 3.) due 



{ M ) L' altra schiera rigata di una qualunque V t , oltre quella rappresentata nella stella (H), ha per im- 

 magine il fascio di rette avente per centro il punto, distinto da A, comune a c t ed al piano imagine della 

 y%, onde, al variare di questa, genera il primo dei due sistemi »» 2 di rette sudetti. 



