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Michelangelo Bartolo 



[Memoria XI.] 



la rappresentazione delle coniche del piano nei punti dell' S 5 , dà una costruzione di alcu- 

 ne classi di esse, e ne dimostra così la esistenza ( 6 ). 



Ai lavori del Marletta fanno poi seguito due note della signorina Grimaldi ( 7 ), nelle 

 quali si determinano tutte le superfìcie, con infinite coniche, razionali di ordine n = 7, e 

 quelle, dello stesso ordine, contenenti un fascio ellittico di coniche i cui piani non costi- 

 tuiscono fascio. 



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 * # 



Scopo del presente lavoro è di assegnare tutte le superficie razionali di ordine n = 8 

 con infinite coniche ,i cui piani costituiscono un inviluppo (A) di classe [x >■ 1. 



1. Sia 7 una di dette superficie. Se (K) è un sistema irriducibile do 1 di coniche di y, 

 esso è un fascio ( 8 ). Sia 5 il numero delle coniche di questo fascio esistenti in un piano 

 generico di (A), ed co un piano arbitrario dello spazio ambiente; le coniche del fascio (K) 

 segnano sulla curva (irriducibile) yto una involuzione razionale gì ; chiamo con 5 il nu- 

 meio dei punti doppi di questa involuzione e con 8' il numero dei punti (distinti o no) 

 della curva fto in ognuno dei quali cadono (su due rami) due punti fra loro coniugati 

 della involuzione detta. 



E noto essere 



(1) 2« = 2[J.5 + 5 + 2^, 



dove , indicando con p c il genere di fi» e con p t il genere di (K) , è per la formula di 

 Zeuthen 



(2) 5 :=-2 (po+l) -4P* 



inoltre è § > 4. 



Dalla (1) e (2) si ricava 



(3) p c = 2Pi-{-ti — l — [LS-l'. 



E noto ( 9 ), poi, che fra i numeri s ed n esiste la diseguaglianza 



(4) |i< 1 



4 S 



cioè 



3 n + i 



(4') 5 < 



4 V- 



Siccome la superfìcie 7 è, per ipotesi, razionale , così è (K) razionale ; onde in tutto 

 questo lavoro sarà sempre pi = o, oltre che n = 8. 



( 6 ) MARLETTA — Delle superficie algebriche con infinite coniche [Rendiconti del Circolo Matematico di 

 Palermo, tomo XL (1915)]. 



(') G. GRIMALDI — Le superficie algebriche razionali d'ordine 7 con infinite coniche [Giornale di ma- 

 tematica di Battaglini voi. L1V (1916) (7* della 3 a serie)]; Delle superficie algebriche d'ordine 7 con un 

 fiascio ellittico di coniche [Rend. Circolo Mat. di Palermo. Tomo XLI1 (1917)]. 



( 8 ) CASTELNUOVO e ENRIQUES — Sopra alcune questioni fondamentali nella teoria delle superficie alge- 

 briche [annali di matem. , serie 3*, voi. 6 (1901) , pp. 165-225] n.° 17 ; e DE FRANCHIS, seconda Nota ci- 

 tata in (-), n.o 1. 



( 9 )MARLETTA, l. c. in ('.), n. 6. 



