Delle superficie razionali, d' ordine n = 8 , con infinite coniche ecc. 3 



§ 1. 



2. Sia jx (3, cioè per la (4), n abbia il massimo valore; ne segue 5 =1, onde (A) 

 è razionale. 



Dalla (l) si ha h'=o, e quindi p c — 1, 



Ne segue che la superficie f è proiezione della superfìcie y 1 , dell' Ss, rappresentata nel 

 piano dal sistema lineare | A. 3 l | o dal sistema lineare | ^ 4 l 2 2 2 [. 



a) Consideriamo la prima ipotesi. Al fascio di rette di centro 1 del piano rappre- 

 sentativo p corrispondono in f 1 le coniche di un fascio (Ai), i piani delle quali generano 

 una varietà (A 1 ) a tre dimensioni d'ordine 6. Infatti 1' 8 5 passante per 6 dati punti gene- 

 rici della y 1 , incontra il piano A 1 di una conica A 1 di quando !' 8 S e A 1 stanno in 

 uno stesso iperpiano (di S s ). Tale iperpiano allora secherà f 1 in una curva (spezzata nella 

 conica A 1 e in una sestica) passante pei' i sei punti che individuano l' S 5 . La cubica cor- 

 rispondente nel plano p si spezza allora in una retta r del fascio (K[) ed in una conica; 

 se r non passasse per alcuno dei punti immagini dei sei dati in y 1 , dovrebbe essere la 

 conica a passare per questi sei punti e ciò è assurdo. In altri termini I' S. incontra solo 

 i piani delle sei coniche di (Ai) passanti per i sei dati punti; ne segue che la varietà dei 

 piani delle coniche di (À'J è d' ordine 6. 



Proiettando la f 1 da un <S 4 che non incontra alcun piano A 1 , sullo spazio ordinario, 

 si ha la 7 richiesta, cioè con |jl — ó. 



Inoltre 1' inviluppo (A), proiezione di (A 1 ), è gobbo. Infatti se fosse stellare di centro 

 V, r$ 5 , determinato dall' jS^ centro di proiezione e da V, dovrebbe incontrare tutti i pia- 

 ni di (A 1 ) nei punti di una curva , ed allora 1' 8 4 incontrerebbe alcuni piani di (A 1 ) e 

 non sarebbe perciò in posizione generica; ovvero in uno stesso punto, e allora due piani 

 qualsiasi di (A 1 ) s'incontrerebbero in esso e starebbero quindi in un S 4 , ciò che non è 

 perchè allora ciascuno degli oo 3 iperpiani passanti per esso *S 4 , dovrebbe secare 7 in una 

 curva avente per immagine due rette fisse, immagini delle due coniche che stanno sopra 

 i due piani che determinano 1' S 4 , ed una retta variabile, e ciò è assurdo. 



b) Supponiamo ora che la superficie 7 1 sia rappresentata dal sistema lineare |À. 4 1 2 2 2 | 

 coi punti 1 e 2 distinti. La y 1 contiene due fasci di coniche, (A 1 ) e (A2), rappresentati, 

 in p, dalle rette dei fasci di centro 1 e 2. Analogamente a come si fece in a), si può 

 qui dimostrare che i piani di (A,), e così i piani di (A 8 ), formano una varietà a tre di- 

 mensioni d' ordine 6. Proiettando la y 1 da un generico £ 4 di <S g sullo spazio ordinario, 

 si ottiene una superficie y anch' essa razionale, d'ordine 8, ma tale che, a differenza di 

 quella trovata in a), possiede due fasci di coniche , i piani delle quali costituiscono due 

 inviluppi gobbi ognuno di classe \i = 6. 



3. Supponiamo ora che l' inviluppo (A) sia stellare e sia V il suo vertice. Questo 

 punto è doppio per y e base per (A). 



a) Nei caso a) del n. precedente, quando il sistema (A) sia stellare, la rappre- 

 sentata da |X 3 1 | non esiste. Infatti se esistesse, dovrebbe esistere un S 5 passante per VS i 

 centro di proiezione, il quale dovrebbe incontrare tutti i piani delle coniche di (AJ, e quin- 

 di 1' S 4 , essendo un iperpiano di questo S 5 , dovrebbe incontrare alcuni piani delle co' 

 coniche; ne risulterebbe quindi 0' > 0. 



b) Nel caso b) del n° precedente supponiamo che i punti 1 e 2 siano infinitamente 

 vicini. Consideriamo allora il sistema |X 4 1 3 2| j queste curve sono le immagini delle sezioni 



