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Michelangelo Bartolo 



IMemoria XI.] 



di i fatte cogli iperpiani passanti per uno stesso punto P 1 . Questo punto è base per (-ff t ), 

 ed è doppio per f 1 perchè un 8 6 passando per P 1 seca ulteriormente 7 1 in 16-9-1=6 

 punti. Proiettando questa superficie da un S i generico, sullo spazio ordinario, si ottiene 

 la y richiesta che ha precisamente un punto doppio base per (K). 



§ 2. 



4. Sia ora (a = 5. 

 Dalla (4') si ha s= 1, onde (A) è razionale. 

 Siccome è 5>4 dalla (1) si deduce 5' < 2. 

 Sia (A) gobbo ; per S' — è p c = 2. 



La superfìcie y è quindi proiezione della superfìcie y 1 , dello S v rappresentato nel 

 piano dal sistema lineare J X 4 1 2 2 3 4 5|. 



La y 1 ha un fascio (KJ di coniche, le cui immagini sono le rette del fascio \"k\\: 

 Analogamente a come si fece al n. 2 a), si può qui dimostrare che i piani di queste 

 coniche costituiscono una varietà (Ai) a tre dimensioni. 



Proiettando la y 1 da un S 3 generico sullo spazio ordinario, si ha la y richiesta la 

 quale ha un fascio di coniche (K) i cui piani costituiscono un inviluppo (A) gobbo e d 

 classe |i = 5. 



Che (A) è gobbo si dimostra con ragionamenti analoghi a quelli tenuti nel n.° 2 a). 

 5. Per 1 è p„ = 1. 



Ne segue che la superficie y è proiezione della superficie dell' S s rappresentata nel 

 piano con uno dei sistemi lineari |X 3 l| ovvero |X 4 1 2 2 I |; ma bisogna proiettare la 7 1 nello 

 spazio ordinario da un *S 4 che incontri un piano A £ di una conica K x di {K-ì). Questa ver- 

 rà proiettata in una retta doppia di y, retta che, contata due volte, costituisce una conica 

 del fascio (K), per cui risulta 8'= 1. 



La varietà (Ai) è di ordine 6 (n. 2) ; ma viene proiettata nello inviluppo (A) di classe 

 |i =■ 6 — 1=5; infatti 1' S 5 determinato da un punto P generico dello spazio ambiente 

 e dall' S i centro di proiezione, deve incontrare la varietà (Ai) in sei punti; ma per ipotesi 

 1' S t incontra un piano fisso Ai, quindi ulteriormente V 8 5 incontrerà la varietà (Ai), in soli 

 altri cinque punti, cioè incontrerà soli cinque piani variabili di (Ai). Dunque pel punto P 

 passano solo cinque piani di (A). 



6. Si supponga (A) stellare e sia V il suo punto base, punto triplo per 7 e base 

 anche per (K). 



Per 0' = è pc = 2. 



Per ottenere la superfìcie y richiesta basta supporre nel n. 4 che il sistema |X 4 1*2345| 

 abbia i punti 2, 3, 4, 5 collineari. Infatti alla loro retta corrisponde in y 1 un punto tri- 

 plo eh' è base per (A' 4 ), e tale punto viene proiettato in un punto triplo per y e base 

 per (A'). 



7. Per 8' = 1 è p c = 1, onde: 



a) Se (A) è stellare si è visto (n. 3, a) che in tal caso non esiste una y 1 rappre- 

 sentata dal sistema \ e che proiettata dia la richiesta superfìcie y. 



b) Sia la y 1 , invece, rappresentata dal sistema |X*1 2 2 2 |, e si suppongano i punti 

 1 e 2 infinitamente vicini; la y 1 avrà allora un punto doppio che è base per (K\), e pro- 

 iettando questa y 1 da un 6' 4 che incontra un piano A 1 di (Ai) si avrà la f dotata di un 



