Delle superficie razionali, d' ordine n = 8, con infinite coniche ecc. 



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punto triplo. E invero \\8 S determinato dall' S 4 centro di proiezione e dal punto doppio di 

 y 1 incontra lungo una retta il piano A 1 detto sopra, e quindi incontra la conica K l , posta 

 in esso , in due punti di cui uno è quello doppio di y 1 . Tale £ 5 perciò incontra lo spa- 

 zio aS 3 , su cui si fa la proiezione, in un punto eh' è immagine di detti due punti, perciò 

 esso è triplo per 7. 



§ 3. 



8. Si supponga |i = 4. 



Dalla (4') si deduce 5=1. Essendo 8 > 4 risulta V < 3. 

 Supponiamo (A) gobbo; per 8 1 = è p e = 3. 



La superficie y è proiezione della superficie 7 1 dell' S 6 rappresentata nel piano dal si- 

 stema lineare |X 5 1 3 2 9|; il fascio di rette | X} | rappresenta un fascio di coniche (KJ. 



I piani di tali coniche formano una varietà (Ai) a tre dimensioni che si dimostra facil- 

 mente essere di ordine 4. Proiettando la y l da un IS 3 che non incontri alcun piano di (A 1 ), 

 nello spazio ordinario , si ottiene una superficie y con un fascio di coniche tale che l' in- 

 viluppo (A) dei piani di queste è di classe 4. Che, poi, (A) è gobbo si dimostra proceden- 

 do in modo perfettamente analogo a come si fece nel n. 2. 



9. Per S'== 1 è p c = 2. 



La y è proiezione della y 1 di S n rappresentata nel piano dal sistema | X 4 l 2 , 2, 3, 4,5 [ ; 

 ma la proiezione deve farsi da un S 3 che incontri un solo A 1 dei piani di (AJ. Essendo 

 (n. 4) d'ordine 5 la varietà di questi piani, l'inviluppo (A) sarà di classe [x = 5 — 1 = 4. 

 La conica di (.ffi) esistente nel piano A 1 , è proiettata in una retta, doppia per f che, con- 

 tata due volte, rappresenta una conica di (K), onde si ha 8'= 1. 



10. Per 8' = 2 è p e = 1. 



La y è proiezione della 7 1 dell' S s rappresentata nel piano (n. 2) col sistema | X 3 1 1 o 

 col sistema |X*1 2 2 2 |; ma la proiezione si deve fare da un S i che incontri due (soli) piani 

 del sistema (AJ nel primo caso, o due piani di uno dei sistemi (AJ , (A2) nel secondo ca- 

 so, onde, essendo d'ordine 6 la varietà dei piani di ognuno dei detti sistemi, |=6 — 2=4. 

 Inoltre le due coniche di (KJ , p. es., i cui piani sono incontrati dall' S 4 centro di proie- 

 zione, sono proiettate in due rette doppie di 7 che contate due volte costituiscono due co- 

 niche del sistema (K), d' accordo con 8' = 2. 



11. Sempre per jx == 4 esaminiamo ora l'ipotesi che (A) sia stellare e sia V il suo 

 punto base; questo punto o non appartiene a y o è quadruplo per y e base per (K). 



Per 8' = è p c = 3. 



a) Nel n. 8 supponiamo che i punti 2, 3, ... 9 del sistema | X 5 1 3 2 . . . 9| stia- 

 no sopra una conica. A questa corrisponderà su y 1 una conica incontrata in due punti 

 da ogni conica del sistema [K^). Questo dunque seca tale conica in 00 1 coppie di punti 

 di una involuzione il cui centro V l appartiene a tutti i piani di (A 4 ) e non giace su y 1 . 

 Proiettando la 7 1 da un piano generico si ha la 7 avente un fascio di coniche (K) i cui 

 piani inviluppano un cono razionale di classe \i = 4 ed il vertice V di questo cono , 

 proiezione di V l , non appartiene a y. 



b) Se si suppone invece che nel sistema | X 5 1 3 ,2 . . . 9 | i punti 2, 3 ... 6 sono 

 sopra una retta r, a questa corrisponderà su f 1 un punto quadruplo base per (2u). Pro- 

 iettando si ottiene la superficie richiesta 7 con un fascio di coniche (K) dotate di punto 



