6 Michelangelo Bartolo 



base ; inoltre questo è quadruplo per y, e l' inviluppo (A) dei piani delle coniche di (jE) 

 è di classe |jl = 4. 



12. Per 8'=: 1 è p c = 2. 



a) Si consideri la superficie f 1 del n. 4; per due piani Ai e AJ si faccia passare 

 un >S' 6 ; esso seca la varietà (AJ in una rigata di ordine 5 — 2 = 3 eh' è immersa in un 

 S 4 , perchè se fosse immersa in un *S 3 dovrebbe avere una direttrice doppia , per ogni 

 punto della quale passerebbero due piani di (AJ; ciò, come si deduce dalla rappresenta- 

 zione piana , è assurdo. Proiettando, sullo spazio ordinario , la 7 1 da un S 3 che incontri 

 in un punto la retta direttrice della detta rigata, si ha la f. 



Tutti i piani dell'inviluppo (A) passeranno pel punto V, fuori di y, in cui lo spazio 

 di y 6 incontrato dallo S i determinato dall' S 3 centro di proiezione e dalla detta rètta di- 

 rettrice. La conica di che giace nel piano di (Ai) incontrato dall' S 3 centro di proie- 

 zione, sarà proiettata in una retta doppia per y che contata due volte costituisce una co- 

 nica di (K), ciò d'accordo con 8'=1. 



b) Se si suppone invece che i punti 2, 3, 4, 5 del sistema | X 4 1 2 ,2,3,4,5 | sono 

 collineari, alla loro retta corrisponde in f 1 un punto V { triplo e base per (-Kj). Proiettando- 

 la f 1 da un S 3 che incontri in un punto P un piano Ai di (Ai), la retta PV\ seca la co- 

 nica posta in Ai in un punto fuori di Vi e quindi la Tf avrà nella proiezione di P, un 

 punto quadruplo , base per (K). La conica di Ai è proiettata in una retta doppia, che con- 

 tato due volte è una conica di (11). Infine l'inviluppo (A) è di classe |J. = 5 — 1=4. 



13. Per 8' = 2 è p e = 1. 



a) Nel caso a) del n. 3 si è visto che se la y 1 è rappresentata da |^ 3 1|, essa non 

 può avere un punto doppio base per (KJ, e quindi la y dotata di punto quadruplo base 

 per (K) non può essere proiezione della detta superficie y 1 . Se invece la f 1 si suppone 

 rappresentata da |X 4 1 2 2 2 | con i punti 1 e 2 infinitamente vicini, essa avrà un punto dop- 

 pio base per (^m), e proiettandola da un *S 4 che incontra due piani di (Ai), si avrà la 7 

 con un punto quadruplo base per (K). Ognuna delle coniche di questi due piani avrà per 

 proiezione una retta doppia per f e che, contata due volte, è una conica del sistema (K), 

 ciò d' accordo con 8' = 2. 



b) Se la 7 1 è rappresentata da | X 3 l | si considerino tre piani Ai, AJ, AJ di (Ai). Essi 

 si appoggiano alla retta / che ha per immagine il punto 1 e perciò stanno in un *S 7 che 

 seca ulteriormente la varietà (Ai) in una rigata cubica normale. Basterà proiettare la 7 1 da 

 un S 4 che incontri in due punti una conica di tale rigata, e che perciò incontra due piani 

 di (AJ, e si avrà la y per la quale l'inviluppo (A) sarà stellare e avrà per punto base il 

 punto V, in cui lo spazio di 7 è incontrato dall' *S 5 determinato dall' $ 4 centro di proie- 

 zione e dal piano della conica detta sopra. 



Se la y 1 è rappresentata da |X 4 1 2 2 2 | con i punti 1 e 2 in posizione generica, un *S 7 

 passante per due piani Ai, A} 1 , di (AJ, p. es., secherà ulteriormente questa varietà in una 

 rigata del 4° ordine, immersa in un S 5 (giacché altrimenti avrebbe almeno un punto dop- 

 pio per cui passerebbero due piani di (A x ), il che è assurdo. Un S 4 di tale S 5 passante 

 per due rette della rigata, la seca ulteriormente in una conica per ogni punto della quale 

 passa una generatrice della rigata e quindi un piano di (A x ). 



Basterà allora proiettare la f 1 da un S t che incontri in due punti una conica della 

 detta rigata, e cosi si ottiene la superfìcie y richiesta. Il vertice V è dato dal punto d'in- 



