Delle superficie razionali, a" ordine n = 8 , con infinite coniche ecc. 7 



tersezione dell' S 3 su cui si fa la proiezione, con 1' S 5 determinato dall' S 4 centro di pro- 

 iezione e dal piano che contiene la detta conica. 



Nel caso attuale dunque, cioè quando (A) è stellare ma il fascio (K) non ha punto 

 base , la superficie ? esiste , ed essa è proiezione della superficie y 1 rappresentata da 

 |X 4 1 2 2 2 | coi punti 1 e 2 distinti ovvero da | X 3 1 |, secondo che essa abbia ovvero no un 

 altro fascio di coniche oltre di (K). 



§ 4. 



14. Sia |jl = 3. 



Dalla (4') si deduce s < 3. 



Per s —- 2 essendo B>4 risulta dalla (1) 5' = e quindi p r —\. 



a) Sia ia y 1 rappresentata dal sistema | X 3 1 [] Per poterò un piano Ai del sistema 

 (A) contenere due coniche di (K), bisogna che l'iperpiano individuato da questo piano e 

 dallo S 4 centro di proiezione, contenga due coniche del fascio (K^. Esso allora conterrà 

 anche la retta r x di f 1 che ha per immagine , sul piano rappresentativo, il punto 1 base 

 del sistema | X 3 1 1 ; tale retta r 1 infatti incontra tutte le coniche del sistema (Ki). Ne segue 

 allora che il piano Ai conterrà la retta r, di 7, proiezione della retta r\ e quindi l'invi- 

 luppo (A) è un fascio ; sarebbe cioè jj. = 1 contro la nostra ipotesi. 



Nè la if 1 può essere rappresentata dal sistema | X 4 1 2 2 2 1 coi punti 1 e 2 distinti ; in- 

 fatti per un punto generico P di y dovrebbero passare tre piani dell' inviluppo (A) e quindi 

 tre coniche di y, ciò che è assurdo perchè pel punto P potranno passare due coniche di 

 7, una per ognuno dei fasci (KJ e (K 2 ). 



b) Sia, invece, la 7 1 rappresentata dal sistema |X 4 1*2 2 | coi punti 1 e 2 infinita- 

 mente vicini. 



Si fissi una g\ nel fascio di rette di centro 1, un sistema 00 1 d'indice 2 di coniche 

 tangenti alla retta X} 2 nel punto 1, e un'omografia fra gli elementi degli enti geometrici 

 così costruiti. Due elementi omologhi costituiscono una sezione iperpiana di y 1 ; si otten- 

 gono così 00 1 iperpiani che evidentemente generano un inviluppo (razionale) di classe 

 jjl =r= 3, onde essi passeranno tutti per un S 4 . Proiettando f *Jda questo S 4 si ottiene la su- 

 perfìcie f richiesta. 



15. Sia 5—1. Essendo 5> 4 risulta dalla (1) 6' < 4. 

 Per S 1 = è p c = 4. 



La y è proiezione della superficie y l d'ordine 8, dell' S 5 rappresentata nel piano dal 

 sistema |X 6 1 4 ,2 13 j , dove i punti 1, 2, ... 13 sono in posizione generica. Al fa- 



scio di rette di centro 1 del piano rappresentativo p, corrisponde un fascio di coniche (ili), 

 i cui piani formano una varietà (Ai) a tre dimensioni che, come nei casi precedenti, si 

 dimostra essere d' ordine 3 Proiettando , sullo spazio ordinario , la y 1 da una retta che 

 non incontri alcun piano di (Ai), si ottiene la richiesta superficie y; che l'inviluppo (A) è 

 gobbo si procede in modo perfettamente analogo a come si fece nel n. 2, a). 



16. Se nel n. precedente si suppone che l' inviluppo (A) sia stellare, il suo punto 

 base V o è doppio per f e non base per (K) ovvero è quintuplo per 7 e base per (K)„ 



a) Supponiamo che i punti 2, 3 . . . 11 stiano sopra una conica. Questa rappre- 

 senta una conica, di f 1 , che è secata dalle coniche di (K^ in una involuzione quadratica 

 pel cui centro Vi passano tutti i piani di (Ai) ma non vi passano le coniche di (A't), Per 



