Delle superficie razionali, d'ordine n = S, con infinite coniche ecc. 9 



iettate in due rette, doppie per Y, tali che ciascuna, contata due volte, costituisce una co- 

 nica di (K), ciò d' accordo con 8' = 2. 



b) Se si suppone (n. 19) che i punti 2, 3, 4, 5 siano collineari, alla loro retta cor- 

 risponderà un punto V' triplo per y 1 e base per (K^. Proiettando la f 1 da un S 3 che in- 

 contri 2 piani di (Ai), nei punti P e Q , si avrà la y dotata di un punto quintuplo nella 

 proiezione V di V\ giacché le rette PV' e QV' , incontrano ancora la f 1 ciascuna in un 

 punto. Il punto V è base per (K), giacche il punto V è base per (Kì). 



21. Per Ò l = 3 è p c = 1. 

 Sia (A) gobbo. 



La y è proiezione della superfìcie y 1 , di S 8 , rappresentata nel piano dal sistema | X 3 1 | 

 oppure dal sistema |X 4 1 2 2 J |; ma la proiezione deve farsi da un S 4 che incontri tre piani 

 della varietà (Ai). Si ha quindi n. 2, a) |a = 6 — 3 = 3. Le tre coniche di {K{) i cui pia- 

 ni sono incontrati dall' S 4 centro di proiezione , sono proiettate in tre rette doppie di y 

 che, contate ciascuna due volte, costituiscono tre coniche del sistema (K), ciò d' accordo 

 con 8' = 3. 



22. Sia (A) stellare. 



Il suo punto base V o h doppio per f e non base per (K) , ovvero è quintuplo pei 

 ? e base per (K). 



a) Si è visto (n. 3, a) che se la 7 1 è rappresentata da | Vi | non può avere un 

 punto (doppio) base per (K 1 ) e quindi la y non può avere un punto (quintuplo) base per 

 (-K). Vediamo dunque se Y può avere un punto doppio non base per (K). 



Un S 7 passante per due piani A} e A2 seca la varietà (A 1 ) in una rigata d'ordine 4 

 immersa in un S 5 . Un S, di questo, passante per una generatrice della rigata, seca que- 

 sta ancora in una cubica c per ogni punto della quale passa una generatrice della rigata 

 e quindi un piano di (A 1 ). 



Un 8 t avente un piano comune coli' S 3 contenente la cubica c seca questa in tre 

 punti e perciò incontrerà tre piani di (A 1 ). 



Proiettando da tale S 4 la f 1 tutti i piani dell' inviluppo (A), contenenti coniche di f, 

 passeranno pel punto V traccia dell' S b determinato dall S 4 centro di proiezione e dall' 8 3 

 che contiene la cubica c. Tale punto V non è base per (K) e perciò è doppio per y. 



b) Il ragionamento fatto precedentemente vale anche se la 7 1 è rappresentata dal 

 sistema | X 4 1 2 2 2 1 e perciò anche in questo caso esiste la superfìcie 7 nella quale (A) è 

 stellare col punto base doppio per essa e non base per (K), 



c) Nel caso a) del n. 3 si è visto che se la y 1 è rappresentata dal sistema | Vi |, 

 essa non può avere un punto doppio base per (Kj) ; quindi la y dotata di un punto quin- 

 tuplo base per {K) non può esistere se deve essere proiezione della y 1 rappresentata dal 

 sistema | Vi |. 



d) Se, invece, la 7 1 è rappresentata dal sistema |X 4 1 2 2 2 | con i punti 1 e 2 infi- 

 nitamente vicini, essa ha (n. 7, b) un punto doppio base per (-Ki), e proiettandola da un 

 S t che incontra tre piani di (Ai) si ha la superfìcie 7 con un punto quintuplo base per (K). 



§ 5. 



23. Sia infine \i = 2, nel qual caso perciò il sistema (A) è sempre stellare. 

 Dalla (4') si deduce s < 4. 



Per s == 3, dalla (1), essendo §> 4 risulta S' = e quindi p e — 1. 



