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Michelangelo Bartolo 



[Memoria XI. j 



La 7 dovrebbe essere proiezione della superficie y 1 dell' $ 8 rappresentata nel • piano 

 dal sistema ] X 3 1 [ o dal sistema [ X 4 1 2 2 2 |. Essa in ambo i casi non esiste. . • 



a) Se fosse proiezione della f 1 rappresentata nel piano dal sistema | X s l | per quanto 

 si è dimostrato al n. 14, a) sarebbe [x = 1 , contrariamente alla nostra ipotesi. 



b) Se la f 1 invece è rappresentata nel piano dal sistema | X 4 1 2 2 2 | distinguiamo 

 due casi : o che i punti 1 e 2 siano distinti o che siano infinitamente vicini. Nel primo 

 caso dovendo un piano di (A) contenere tre coniche di 1' immagine della sezione di 

 f 1 fatta con l'iperpiano individuato da esso piano e dall' S i centro di proiezione, dovrebbe 

 spezzarsi in tre rette passanti pel punto 1 (oppure 2) ed in una (sola) retta passante pel 

 punto 2 (oppure l) e ciò è assurdo. 



Nel secondo caso l'immagine della sezione fatta con l'iperpiano individuato come 

 sopra, dovrebbe spezzarsi in 4 rette passanti pel punto 1. Sarebbe quindi 5 = 4 contra- 

 riamente al valore ricavato dalla (4'). 



Del resto questo secondo caso e il caso a) si escludono subito osservando che l'ul- 

 teriore intersezione di 7 con un piano di (A) sarebbe una conica non appartenente a (R)\ 

 onde 7 sarebbe dotata di due fasci di coniche. 



24. Per 5 = 2, dalla (1) essendo 8 > 4 risulta 8' <^ 3. In ognuno di questi casi il 

 punto base V dell'inviluppo (A) è fuori di y ovvero è quadruplo per •( e base per {Ky 



Per 8' = è p c = 3. 



a) Si consideri la superficie y 1 dell' S 6 rappresentata nel piano dal sistema lineare 

 | Pi 3 , 2 ... 8, 9 | , con i punti 5, 6, 7, 8, 9 collineari. La loro ietta rappresenta un 

 punto V 1 quadruplo per "jf 1 e base per (-K"i). 



Si stabilisca ora una omografia fra le coppie di una gl del fascio | X\ | e le coniche 

 del fascio | "A- 2 1, 2, 3, 4|; una coppia della gl e la conica omologa insieme con la retta 

 dei punti 5, 6, 7, 8, 9, costituiscono una sezione iperpiana di f*. Per un punto P l di y 1 

 ne passano due di queste sezioni iperpiane ; infatti pel ' punto P del piano rappresentativo 

 p o passa una coppia della gl , ovvero la conica rimanente. Si hanno in tal modo 00 1 

 iperpiani passanti tutti per un S 3 ; proiettando y 1 da un piano generico di questo spazio 

 si ottiene la superficie y richiesta ; essa ha come quadruplo la proiezione del punto V} , 

 proiezione eh' è base per il fascio (K). 



b) Si consideri ancora la superfìcie f 1 dell' S 6 rappresentata dal sistema lineare 

 j X 5 1 3 2 . . . 9 | con i punti 1, 2 ... 9 tali da formare la base di un fascio di cubiche. 

 Si stabilisca nel fascio | ì\ [ una gl, ed una omografia fra le coppie della ^2 e le cubiche 

 del detto fascio. Una coppia della gl e la cubica omologa, costituiscono l' immagine di 

 una sezione iperpiana di y^ Si hanno così anche ora so 1 iperpiani tutti passanti per uno 

 stesso spazio ordinario. 



Proiettando f 1 da un piano generico di questo S 3 , si ottiene la superficie y richiesta, 

 nella quale non giace il punto base dell'inviluppo (A). 



25. Per 8'= 1 è p c = 2 

 a) Si consideri la superfìcie 7 1 , dell' S 7 , rappresentata nel piano dal sistema lineare 

 [X 4 1 2 , 2, 3, 4, 5 | con i punti 2, 3, 4, 5 collineari. La loro retta rappresenta un punto 

 F 1 triplo per f 1 e base per il fascio (K x ). 



Indi si assegni una omografia fra le coppie di una gl del fascio | lì. | e le rette di 

 un fascio | | immagine di un fascio di quartiche razionali normali esistenti su yi. Una cop- 

 pia della sopradetta gl ed una retta di [ V? I , insieme colla retta 2345, costituiscono la ini- 



