Delle superficie razionali, d'. ordine n = 8 , con infinite coniche ecc. 



Il 



magine di una sezione iperpiana di 7 1 . Si ottengono così 00 1 iperpiani tali che per un 

 punto generico di f 1 ne passano due; essi quindi passano tutti per uno stesso S 4 , e cia- 

 scuno seca la varietà (Ai) nei due piani di due determinate coniche di {Kj e ulterior- 

 mente (n. 4) in un cono cubico di vertice V\ Si osservi ancora che questo punto e il 

 punto A 1 di y 1 avente per immagine A, giacciono nel detto S i , onde questo spazio ha in 

 comune col cono cubico una (sola) generatrice : la V 1 A 1 . 



Proiettando la y 1 da un S 3 generico del detto S 4 , si ottiene la superficie f richiesta. 

 Il piano di .(Ai) passante per la retta V l A l è incontrato dall' S 3 centro di proiezione, e 

 quindi darà una retta che è doppia per y e, contata due volte, conica di (K), ciò d' ac- 

 cordo con h' = 1. Si noti che il fascio (K) ha come punto base la proiezione V del 

 punto V 1 . 



b) Supponiamo ora che i punti 1, 2, 3, 4, 5 siano in posizione generica, e si as- 

 segni un' omografia fra le coppie di una g\ del fascio | \\ | e le coniche passanti per i 

 punti 2, 3, 4, 5. Si ottengono così co 1 sezioni iperpiane ognuna delle quali ha l'imma- 

 gine spezzata in una coppia della g\ e nella conica corrispondente. Anche qui si ottengo- 

 no in tal modo 00 1 iperpiani tutti passanti per uno stesso S 4 . Proiettando da un S 3 di 

 questo S 4 si ottiene, la y richiesta, tale cioè che il fascio {K) non ha punto base. Che, 

 poi, risulta 8' = J segue dall' osservare che in questo caso al posto del cono cubico detto 

 in a), si trova una rigata cubica normale avente la sua direttrice rettilinea nell' S 4 sopradetto. 



26. Per &'= 2 è p e = 1. 

 Si consideri la y 1 dell' S g rappresentata nel piano dal sistema lineare | X 3 1 | o dal si- 

 stema | X 4 1 2 2 2 |. 



a) Se la y 1 è rappresentata da | X 3 1 | , essa comunque la si proietti non darà, mai, 

 la superficie y, perchè sarebbe allora, per quanto si è dimostrato al n. 14, a >, jx == 1 con- 

 tro la nostra ipotesi. 



b) , Sia la y 1 rappresentata dal sistema |X 4 1 2 2 2 | con i punti 1 e 2 distinti. Si 

 stabilisca nel fascio | X} | una involuzione g\, e un'altra se ne fissi nel fascio [XJ|. Si 

 assegni poi un'omografia fra le coppie di queste due involuzioni. Due coppie corrispon- 

 denti costituiscono 1' immagine di una sezione iperpiana della superfìcie y 1 . Si ottengono 

 così oo 1 iperpiani tali che per un punto generico dell' /S 8 ambiente ne passano due, e per 

 ciò essi appartengono ad un S s . Ciascuno di tali iperpiani seca la varietà (Ai) in una cop- 

 pia di piani ed in una rigata quartica la quale ammette nel detto S & una conica direttrice. 

 Basta proiettare la y 1 da un S 4 generico di tale S 5 per ottenere la superficie y richiesta. 

 Le due coniche di (Kj) esistenti nei due piani di (Ai) passanti per i due punti in cui \'S 4 , 

 centro di proiezione, incontra tale conica direttrice, sono proiettate in due rette doppie per 

 y e, ognuna contata due volte, coniche del fascio (K). 



cj I punti 1 e 2 siano invece infinitamente vicini. Consideriamo allora le [X 4 1 8 2|; 

 queste costituiscono un sistema lineare ce 7 e sono le immagini delle sezioni iperpiane 

 passanti per uno stesso punto V 1 doppio per y 1 . 



Consideriamo una nel fascio | X} j ed il fascio di coniche | X 2 1 , 2, A, B J , indi- 

 cando con A e B due punti generici del piano rappresentativo. Si stabilisca una omogra- 

 fia fra le coppie della g\ e le coniche del detto fascio. Una coppia della involuzione e la 

 conica corrispondente costituiscono I' immagine di una sezione iperpiana ; si ottengono an- 

 che qui 00 1 iperpiani tutti passanti per uno stesso S 5 al quale appartengono il punto V 1 

 ed i punti A 1 e B l rappresentati da A e B. E poiché un piano qualunque di (Ai) ha in 



