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A 7 . Spamp/na/o 



[Memoria XXI.l 



Bi ( / = 1,2,3,4) tali che il Gf= A ~\-2Bi (*) sia coniugato alle due cubiche date 

 Se il punto A descrive una retta i punti Bi descrivono una curva del 4° ordine. 



Infatti siano date in un piano due cubiche C\ C|; perchè un G z del tipo G A = A-\-2X 

 sia coniugato alle due cubiche è necessario e sufficiente che il G i ~2X sia coniugato 

 alle due coniche polari di A rispetto alle due cubiche. Segue che, se indichiamo con 2?j 

 (i = 1,2,3,4) i punti comuni alle coniche polari di A rispetto a C'ì e Ci, gl'inviluppi 

 Gi~A-\-2Bj risulteranno coniugati alle due cubiche. 



Facciamo ora percorrere al punto A una retta a. Allora è evidente che i punti B t 

 percorreranno una e 4 , perchè mentre A percorre a , le due coniche polari di A rispetto 

 alle due cubiche descriveranno due fasci di coniche proiettivi, se chiamiamo omologhe due 

 coniche polari di uno stesso punto A di a; e due fasci di coniche proiettivi generano 

 come luogo dei punti comuni alle coniche omologhe una e*. 



2. Date in un piano due cubiche e fissato un punto B, esiste un sol punto A 

 tale che il G s = A -f- 2B sia coniugalo alle due cubiche. Se il punto B descrive 

 una retta il punto A percorre una curva del 4° ordine ("'). 



Infatti osserviamo che perchè un (r :i del tipo G 3 EE A -f- 2B sia coniugato ad una 

 cubica basta che il punto A appartenga alla retta polare del G 2 SE 2B rispetto alla cubi- 

 ca ; segue che se chiamiamo A il punto comune alle polari b t b 2 del G 2 = 2B rispetto 

 alle due cubiche date sarà A -\- 2B 1' unico inviluppo di quel tipo coniugato alle due cu- 

 biche. 



Facciamo percorrere al punto B una retta r\ le rette b k e bi descriveranno eviden- 

 temente due G 2 proiettivi se chiamiamo omologhe due rette polari di uno stesso punto B 

 di r. Le rette omologhe dei due G 2 s' intersecano in una c* che sarà la c 4 generata dal 

 punto A. 



3. Date in un piano tre cubiche esistono co 1 G 3 spezzati in un punto sem- 

 plice ed in un punto doppio e coniugati alle tre cubiche. Il luogo del punto sem- 

 plice è una curva del 12° ordine, il luogo del punto doppio è una curva del 6° 

 ordine ( 3 ). 



Infatti consideriamo nel piano una retta a e sia c 4 il luogo dei punti B tali che i 



C 1 ) In generale indicheremo con c n curve dell'ordine n, con G n inviluppi della classe n ; per indicare 

 poi per es. che c™ è spezzata in una retta a contata / volte ed in una c n ~* residua scriveremo : 



c»Ec*" ! + Ut. 



Analoga notazione adotteremo per gì' inviluppi. 



( 2 ) Questo teorema ed il precedente sono casi particolari del seguente teorema generale che si dimostra 

 con un ragionamento perfettamente analogo ; 



Date in un piano due curve d'ordine u e fissato un putito A , esistono (n — s) 2 putiti Bi (c—i,. .■ ,(n — f) 

 tali che gV inviluppi spezzati sA + (u — s)£; risultano coniugali alle due curve date. 



( 3 ) Questo teorema è caso particolare di quest' altro che si dimostra con analogo ragionamento : 



Date in un piano tre curve dell' ordine n esistono co 1 G n del piano del tipo G n ^ s A + (fi — s) B co- 

 niugali alle tre curve. 



Il luogo del punto s-plo è mia curva dell' ordine js (« — s) 2 ; e così il luogo del punto (n — s)-plo é 

 una curva dell' ordine js 2 (n — s). 



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