Geometria delle cubiche piane 



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G 3 EE A -f- 25, essendo vi un punto di a, risultino coniugati a due delle tre cubiche date. 

 Ad un punto A di a corrispondono 4 punti B t di c'\ Chiamiamo in a omologhi di A i 

 4 punti in cui la retta a viene secata dalle rette polari dei quattro inviluppi G 2 EE 2B t ri- 

 spetto alla terza cubica data. Si avrà in a una corrispondenza di cui il secondo indice è 4. 



Per trovare il primo indice basta osservare che per un punto A di a passano le 

 rette polari rispetto alla 3 a cubica di 8 punti di c i e precisamente degli 8 punti comuni 

 a c i e alla conica polare di A' rispetto a questa terza cubica; e tenendo conto poi del ri- 

 sultato del n° precedente si trova che il primo indice della nostra corrispondenza è 8. Si 

 avranno allora 12 coincidenze, cioè in a esisteranno 12 punti A- t ad ognuno dei quali 

 corrisponderà un punto B t del piano tale che il G\ EE Ai -j- 2B% risulti coniugato alle tre 

 cubiche date. 



Ciò dimostra che il luogo del punto semplice, di cui nèll' enunciato, è una curva del 

 12° ordine. 



Si consideri ora sul piano una retta b e sia f 1 la curva del 4° ordine luogo dei punti 

 A tali che i G 3 EE A -f- 2B, variando B in b, risultino coniugati a due delle cubiche date. 

 Si osservi che ad un punto B di b corrisponde un sol punto A di f 4 e così ad un punto 

 A di \ l corrisponde un sol punto B di b. 



In b si chiamino omologhi di un suo punto B i due punti in cui b viene secata dalla 

 conica polare rispetto alla 3 a cubica del punto A di y 4 omologo di B. Si avrà in b una 

 corrispondenza (4, 2) che ammetterà ó coincidenze e come sopra si vede ohe il luogo del 

 punto doppio, di cui nell' enunciato, è una curva del 6° ordine. 



4. Date in un piano 4 cubiche esistono 24 G z spezzati in un punto semplice 

 ed in un punto doppio e coniugati alle 4 cubiche ('). 



Infatti siano c 6 e c 12 le curve di cui al n° precedente relative a tre delle 4 cubiche 

 date. Tra i punti A dì c n e i punti B di c G si ha una corrispondenza biunivoca co se 

 chiamiamo omologhi due punti A e B tali che sia A -\- 1B coniugato alle tre cubiche 

 rissate. 



In c tà chiamiamo omologhi di un suo punto B i 12 punti in cui c" viene secata dalla 

 conica polare di un punto A di c 12 omologo di B in co, rispetto alla 4 a cubica data. Si 

 avrà in e 6 una corrispondenza (12, 12) a valenza zero che ammetterà perciò 24 coinciden- 

 ze. Da ciò la dimostrazione del teorema. 



Si osservi che allo stesso risultato si poteva pervenire ragionando sulla c 12 anziché 

 sulla c 6 . 



5. Date in un piano 3 cubiche esistono x> 1 G\ coniugati ad esse e spezzati 

 in tre punti, del tipo G 3 EE A -f- X -f- Y essendo A un punto assegnato. Il luogo 

 dei punti X ed Y è una curva del 3° ordine. 



Diciamo c lt c 2 , c 3 le 3 cubiche date, fissiiamo nel piano una retta b e diciamo s lf 

 5 2 , s-j le rette polari rispetto a c v c 2 , c 3 del G 2 EE A -f- B essendo B un punto di b. Va- 

 riando B in b, Sj, s 2 , s 3 descriveranno tre fasci proiettivi, se diciamo omologhe tre rette 



( 4 ) Questo teorema è caso particolare di quest' altro che dimostrasi pure con un ragionamento analogo : 

 Date in un piatto quattro curve dell' ordine n esistono 6s 2 (n — 6) 2 G' 1 del tipo G ìi: ElsA + (m — s) R co- 

 niugati alle quattro curve date. 



