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N. Scampi nato 



| Memoria XXI]. 



come s. v S2 s 3 , aventi per centri rispettivamente i punti R lf Ri, R 9 poli della retta b ri- 

 spetto alle coniche polari di A relative alle tre cubiche date. 



Se indichiamo con / e / i punti comuni ad s i e s., e ad s 2 ed s 3 , possiamo asserire 

 che mentre B percorre b, i punti / e J descriveranno due coniche passanti la prima per 

 R t ed R 2 e la 2 a per R2 ed R r Sia P' uno dei tre punti comuni alle due coniche diverso 

 da Ri- Allora esisterà in b un punto B' tale che le tre rette polari del G 2 =A-\-B' rispetto a 

 c\ c 2 c 3 passano tutte per P' e così il G 3 = A -f- B' -f- P' sarà coniugato alle tre cubiche. 



Concludiamo pertanto che esistono 3 G 3 spezzati in 3 punti coniugati alle tre cubi- 

 che ed aventi un punto fìsso in A ed un secondo punto sulla retta r. Ne segue la verità 

 dell' enunciato. 



Il risultato precedente coincide col fatto che data una rete di coniche esistono co 1 

 coppie di punti coniugate alle coniche della rete. 



6. Il precedente teorema si può dimostrare anche servendosi di sistemi particolari. 



Il fissare tre cubiche nel piano equivale a fissare il sistema lineare co 6 di G 3 coniu- 

 gati alle tre cubiche. 



Allora fissiamo dualmente un sistema lineare co 6 di cubiche e dimostriamo che dentro 

 questo sistema ve ne sono tre spezzate ciascuna in tre rette delle quali una cade in una 

 retta a assegnata ed un' altra appartiene ad un fascio avente un centro R prefissato. 



Invece d'assegnarci un sistema lineare co 6 di cubiche qualunque assegniamoci il si- 

 stema lineare co 6 delle cubiche passanti per tre punti dati M, N, P del piano. Allora è 

 evidente che solo tre cubiche del sistema sono spezzate in tre rette soddisfacenti alle con- 

 dizioni date. Basta congiungere R con uno dei tre punti M, N, P e congiungere poi i 

 rimanenti; si otterranno due rette che insieme alla retta a costituiscono una cubica ri- 

 spondente al problema. 



La precedente dimostrazione è più semplice, ma non è completa. 



Si osservi, per esempio , che se si usa senza cautele , un tale procedimento per di- 

 mostrare che date in un piano 4 cubiche esistono 24 G 3 spezzati in uu punto semplice 

 ed in un punto doppio e coniugati alle cubiche date, anziché trovare 24 di tali G 3 se ne 

 troverebbero 6. 



7. Date in un piano 4 cubiche e fissato un punto A esistono 3 G 3 spezzati 

 in tre punti, dei quali uno è A, e coniugati atte 4 cubiche date. 



Diciamo <\> 3 la cubica luogo dei punti X ed Y del piano tali che i G 3 del tipo 

 G 3 = A-\- K-\- Y risultino coniugati a 3 delle 4 cubiche date. 



Si noti che nella <\> 3 esiste una corrispondenza involutoria a nella quale ad un punto 

 B di <\> 3 corrisponde il punto C, pure di ^ 3 , tali che il G 3 = A -j- B -j- C risulti coniu- 

 gato alle tre cubiche scelte. 



Sia r 2 la conica polare di A rispetto alla 4 a cubica data. In <\> 3 chiamiamo omologhi 

 di un suo punto C, i tre punti in cui <\> 3 è secata dalla retta polare del punto B omologo 

 di c in rispetto a c' 2 . Resta fissata così in <p una corrispondenza (3, 3) a valenza zero. 

 Essa ammette perciò 6 coincidenze. 



Se c coincide con una dei suoi tre omologhi sarà il G 3 = A + B -j- C coniugato 

 alle 4 cubiche date. 



Ma se C è una coincidenza sarà pure una coincidenza il punto B. Segue che i sei 



