Geometria delle cubiche piane 



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punti di coincidenza si distribuiscono in tre coppie B, Ci di punti omologhi in a e tali 

 che i tre G\ =. A -j- B 4 -j- C, risultino coniugati alle 4 cubiche date. 



Questo teorema può anche dedursi dal fatto che in una schiera di G 2 ve ne sono 



3 spezzati in coppie di punti. 



8. Anche il teorema precedente si può dimostrare con un ragionamento analogo a 

 quello fatto nel n° 6 fissando (dualmente) un sistema lineare oo 5 di cubiche passanti per 



4 punti assegnati. Congiungendo questi 4 punti a 2 a 2 si ottengono tre coppie di rette 

 tali che ciascuna di esse insieme ad una reità a prefissata forma una c 3 appartenente al 

 sistema. 



9. Date in un piano tre cubiche e fissate due rette a e b , esistono oo 1 G 3 

 spezzati in tre punti coniugati alle tre cubiche e tali che uno dei tre punti è in 

 a ed un altro in b. Il luogo del terso punto è una curva del 6° ordine. 



Fissiamo nel piano una 3 a retta c. Di un punto C di c consideriamo le coniche po- 

 lari rispetto a due delle cubiche date. Allora esistono 2 coppie di punti {A, B), essendo 

 iin.a.e 5 ki b, coniugati rispetto a queste due coniche. Dei due G % spezzati nelle due 

 coppie di punti così ottenute consideriamo le due rette polari rispetto alla 3 a cubica data. 

 Queste due rette secheranno c in due punti che diremo omologhi di C. Resta fissato così 

 in c una corrispondenza il cui 2° indice è 2. 



Di un punto C di c consideriamo la conica polare rispetto alla 3 a cubica, e poi an- 

 diamo a vedere quante sono le coppie di punti (A, B) (con A in a e B in b) coniugati 

 rispetto a questa conica e tali che le rette polari dei G 2 spezzati in dette coppie, rispetto 

 alle altre due cubiche si sechino in uno stesso punto di c. 



Tale numero sarà evidentemente il 1° indice della nostra corrispondenza. Si trova 

 facilmente che detto numero è 4 fissando in c una seconda corrispondenza. 



La nostra corrispondenza (4, 2) ammetterà pertanto 6 coincidenze e possiamo perciò 

 concludere che : fissate nel piano tre rette a, b, c esistono 6 G 3 spezzati in tre punti A, 

 B, C, rispettivamente di a; b, c, coniugati alle tre cubiche. Ne segue quanto volevamo 

 dimostrare. 



10. Nel teorema precedente consideriamo il caso che sia b~c. Allora è evidente 

 che in questo caso dei 6 G 3 trovati solo 3 sono distinti e possiamo dire che : 



Date in un piano tre cubiche e fissate due rette a e b esistono 3 K z spezzati 

 in tre punti dei quali uno è in a e gli altri due sono in b e coniugati alle tre cu- 

 biche date. 



Se poi le tre rette a, b, c coincidono in una sola i 3 G 3 si ridurranno in un unico 

 G 3 e perciò abbiamo : 



Date in un piano tre cubiche e fissata una retta a esiste un unico G 3 spez- 

 zato in tre punti di a e coniugalo alle tre cubiche date. 



Ciò si prevedeva perchè i G 3 spezzati in 3 punti di una retta formano un sistema 

 lineare co 3 . 



11. Date in un piano 4 cubiche e fissata uua retta a, esistono co 1 G 3 coniu- 

 gati alle 4 cubiche e spezzati in tre punti dei quali uno è in a. 



