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N. Spampinato 



| Memoria XXI. J 



II luogo degli altri due punti è una curva del 12° ordine. 



Fissiamo nel piano un' altra retta b e domandiamoci quanti sono i G 3 del piano 

 spezzati in tre punti e dei quali una sia in a e un altro in b e coniugati alle 4 cubiche 



Consideriamo tre delle quattro cubiche date e sia à il luogo dei punti C tali che 

 ammettono in corrispondenza una coppia di punti (A, B), con A in a e B in b, for- 

 manti un G 3 = A -J- B -j- C coniugato alle tre cubiche. 



In corrispondenza agli oo 1 punti di c 6 avremo oo 1 coppie di punti (A, B). Si osservi 

 che ad una coppia (A, B) di queste corrisponde un sol punto C di c 6 tale che il 

 G' = A -\- B -f C risulti coniugato alle tre cubiche rissate; basta pensare che le tre rette 

 polari del G 2 = A -J- B rispetto alle tre cubiche devono passare per C. 



Sia s la retta polare del G~ EE A -j- B (dove A e B sono i punti di una delle oo 1 

 coppie considerate) rispetto alla 4 a cubica data. La retta 5 secherà la c a in 6 punti che 

 diremo omologhi del punto C di c 6 omologo della coppia (A, B). Così resta fissato in c tì 

 una corrispondenza a valenza zero di cui il 2° indice è 6. Per trovare il 1° indice, di un 

 punto C di c" consideriamo la conica polare rispetto alla 4 a cubica ; allora detto 1° in- 

 dice sarà evidentemente il numero delle coppie (A, B) (fra le oo *) coniugate rispetto a 

 questa conica. Fissando in a una corrispondenza si trova facilmente che detto numero è 6. 



La nostra corrispondenza (6,6' ammetterà 12 coincidenze ed avremo che: date in 

 un piano 4 cubiche e fissate due rette a e b esistono 12 G 3 coniugati alle 4 cu- 

 biche e spezzati in tre punti dei quali uno è in a e un altro in b. 



Ne segue quanto volevamo dimostrare. 



12. Fissate in un piano 5 cubiche ed una retta a, esistono oo 1 G 3 coniugati 

 ad esse e spezzati in tre punti. Il luogo di questi punti è una curva del 15° ordine. 



Fissiamo nel piano una retta a e domandiamoci quanti sono i G 3 coniugati a tutte 

 le 5 cubiche spezzati in tre punti e dei quali uno sia in a. 



Consideriamo 4 delle 5 cubiche date e sia c 12 il luogo dei punti B e C del piano 

 che insieme ad un punto A di a formano G 3 coniugati alle 4 cubiche. 



Osserviamo che ad ogni punto A di a corrispondono 3 coppie (B, C) di c vi (n° 7); 

 di ognuna di queste coppie troviamo la retta polare rispetto alla 5 a cubica data e chia- 

 miamo in a omologhi di A i tre punti in cui dette 3 rette secano a. Per trovare il 1° 

 indice della corrispondenza che così viene fissata in a, di un punto A' di a consideriamo 

 la conica polare c 2 rispetto alla 5 a cubica; allora detto 1° indice sarà dato dal numero 

 delle coppie (B, C) di c 12 coniugate rispetto a c 12 . 



Tale numero è 12 e si trova facilmente fissando in c u una seconda corrispondenza. 



La nostra corrispondenza avrà pertanto 15 coincidenze ; da ciò segue che esistono 

 15 G 3 coniugati alle 5 cubiche e spezzati in tre punti dei quali uno trovasi in a. 



Segue immediatamente quanto volevasi dimostrare. 



13. Date iìi un piano 6 cubiche esistono 15 G 3 spezzati in tre punti e coniu- 

 gati alle ò cubiche. 



Fissiamo 5 delle 6 cubiche date e sia c 1 '' la curva luogo delle terne di punti (A,B,C) 

 formanti G 3 coniugati ad esse. 



Chiamiamo omologhi, in c 15 , di un punto A i 15 punti in cui c io viene secata dalia- 

 polare del G 2 = B -f- C rispetto alla sesta cubica. 



