Geometria delle cubiche piane 



7 



Resta cosi fissata in c v una corrispondenza a valenza zero. 



Per trovare il 1° indice, di un punto A' di c 15 costruiamo la conica polare rispetto 

 alla 6 a cubica ; allora detto 1° indice sarà il numero delle nostre terne aventi due punti 

 coniugati rispetto a detta conica, c 2 . 



Fissiamo per questo in c L '' una seconda corrispondenza ; di un punto A chiamiamo 

 omologhi i 30 punti in cui c lD viene secata dalle rette polari rispetto alla conica c 2 dei 

 punti B e C che con A formano una delle nostre terne. Si ha in c 15 una corrispondenza 

 (30,30) a valenza zero. Le 60 coincidenze di questa ci danno 30 coppie di punti che ri- 

 spondono al problema. 



Il primo indice essendo 30, la nostra corrispondenza ammetterà 45 concidenze ed in 

 corrispondenza avremo 15 terne distinte formanti G 3 coniugati alle 6 cubiche date. 



14. Date in un piano 5 cubiche esistono 30 G 3 coniugati alle 5 cubiche spez- 

 zati in tre punti due dei quali allineati con un punto P prefissato. 



Sia c 15 la curva luogo dei punti formanti terne coniugate alle 5 cubiche date (n° 12). 

 Sia r una retta del fascio (P) di centro P e sia A L uno dei 15 punti in cui r seca c 15 . 

 Siano B t e C t i punti di 6" 15 che insieme ad A, formano una terna coniugata alle 5 cubiche. 

 Chiamiamo omologhe di r nel fascio (P) le trenta rette congiungenti P con i punti delle 

 15 coppie B L Ci. Si otterrà in (P) una corrispondenza (30,30) che ammetterà 60 coinci- 

 denze. Queste 60 coincidenze danno luogo a 30 G 3 che rispondono alla quistione. 



Si osservi : 



a) che se una di quelle 30 terne è formata da tre punti tutti e tre allineati con 

 P questa forma un G 3 che è da contarsi per 3 fra i 30 G z ; 



b) che se il punto P sta sulla c 15 anziché venire sulla c 40 una corrispondenza 

 (30, 30) si avrà una corrispondenza (28, 28) escludendo le due rette congiungenti P con 

 i due punti di 6' 15 , diciamo M ed N, che insieme a P formano una delle nostre terne. 



In questo caso si otterranno 28 K 3 anziché 30. Ciò significa che il E 3 = P-\-M-\-N 

 fra i 30 G 3 conta per 2. 



15. Date in un piano tre cubiche esistono 3 G 3 coniugati alle 3 cubiche e 

 spezzati in un punto P prefissato e in altri due punti allineati con P. 



Al n° 5 abbiamo visto che fissato un punto P esistono oo 1 G 3 del tipo G 3 = P-\-X-\- Y 

 coniugati a 3 cubiche date, e che il luogo dei punti Z ed Y è una cubica cjj 3 . Ora ci do- 

 mandiamo : delle coppie X, Y quante ve ne sono allineate con P? 



Come nel n° precedente si stabilisce una corrispondenza nel fascio di centro P e si 

 dimostra il teorema. 



16. Date in un piano 4 cubiche esistono 6 G 3 coniugati alle 4 cubiche e spez- 

 zati in tre punti e allineati con un punto P prefissato. 



Se un G 3 spezzato in tre punti allineati deve risultare coniugato alle oo 3 cubiche del 

 sistema determinato dalle 4 cubiche date è necessario e sufficiente che nella retta r con- 

 giungente i tre punti in cui è spezzato il G 3 detto sistema oo 3 sechi una I\ anziché 

 la I\. Allora si tratta di trovare nel sistema oo 3 le cubiche spezzate in una retta pas- 

 sante per P ed in una conica. 



