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N. Spampanato 



| Memoria XXl.j:, 



Le cubiche della oo 3 spezzate in una retta ed in una cubica sono x il luogo dei 

 punti doppi è una c 21 , e fra le oo 1 cubiche ve ne sono 42 che sono spezzate in una 

 conica ed in una retta tangenti (Caporali). 



Allora per trovare il numero cercato stabiliamo nel fascio \P) una corrispondenza. 

 Sia r una retta di (P) e Ai uno dei 27 punti comuni ad r e a c 27 . Esisterà un punto 

 B, di e 21 che insieme ad Ai darà i punti doppi di una delle oo 1 cubiche spezzate. Di- 

 ciamo omologhe di /' le 27 rette di (P) passanti per i punti B t . Avremo in (P) una 

 corrispondenza (27, 27) che ammetterà 54 coincidenze , 42 , delle quali saranno date dai 

 punti doppi delle 42 cubiche spezzate in una conica ed una retta tangenti. Restano 12 

 coincidenze che ci daranno 6 coppie di punti doppìi allineati a P e appartenenti, ciascuna 

 coppia, ad una stessa cubica delle oo 1 . 



Ne segue quanto volevamo dimostrare. 



17. Come abbiamo fatto per il teorema del n° 6, così per tutti i teoremi che seguono 

 quello si può dare una dimostrazione servendoci di sistemi particolari di cubiche passanti 

 per un certo numero di punti prefissati. 



18. Date in un piano 6 cubiche e fissata una retta a esistono 6 G 3 s pescali 

 in un punto appartenente ad a ed in un G 2 qualunque. 



Siano A un punto di a e c\....,cl le coniche polari di A rispetto a 5 delle 6 cubiche 

 date; ad ognuna di queste coniche è associato un sistema oo 4 di G 2 . Questi 5 sistemi 

 si secano n'un G z . Il G 3 = A-\-G 2 sarà coniugato alle 5 cubiche date. 



Variando A in a, G 2 varierà in una totalità 30 1 , diciamo cf>*, tale che ogni sistema 

 co 4 di G 2 la seca in 5 G 2 . (Basta rappresentare i G 2 del piano in un S 5 per accorgersi, 

 di ciò). 



Ciò posto sia X un punto di a e sia c* la conica polare di X rispetto alla 6 a cubi- 

 ca data. Alla ci è associato un sistema so 4 di G 2 che secherà cf> in 5 c 2 . A questi 5 

 G 2 corrispondono 5 punti di a che diremo omologhi di X. 



Nella retta a resta fissata una coi rispondenza ( 1,5) che ammetterà 6 coincidenze. Da 

 ciò segue quanto volevamo dimostrare. 



19. Date in un piano 3 cnbicJie e fissato una schiera <p di G 2 esistono 3 G 3 

 coniugati alle 3 cubiche e spezzati in un G 2 di cp ed in un punto qualunque. 



Mentre un G 2 descrive la schiera cp le tre rette polari di G' rispetto alle 3 cubiche 

 date descriveranno tre fasci proiettivi chiamando omologhe ire rette polari di uno stesso 



G 2 di cp. 



Allora è noto che vi sono nel piano 3 punti per ognuno dei quali passano tre rette 

 omologhe dei tre fasci. Segue immediatamente quanto volevamo dimostrare. 



20. Facilmente si dimostra poi che: 



Date in un piano 2 cubiche e fissate una retta a ed una schiera di G 2 cp 

 esistono 2 G s coniugati alle 2 cubiche e spezzale in un punto di A ed in un 

 G 2 di cp. 



21. Nella rete di cubiche che si ottiene congiungendo una ci generica con un 

 fascio i di cubiche spezzate in una retta doppia p fissa ed in una retta z varia- 



