Geometria delle cubiche piane 



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bile in un fascio, vi sono 3 cubiche spezzate in una retta ed in una conica e non 

 appartenenti al fascio <\>. 



Le cubiche della rete saranno tutte tangenti fra di loro nei tre punti A, B, C in cui 

 C3 seca p, e le tangenti comuni saranno le tangenti a, b, c che e 3 ha in A, B, C. Sicché 

 la nostra rete sta dentro il sistema lineare co 3 delle c 3 tangenti ad a, b, c in A, B e C. 



Dentro questo sistema vi sono soltanto 3 fasci di cubiche spezzate in una retta ed 

 in una conica fuori di <\>, e sono le e 3 spezzate in a (o in b o in c) ed in una conica 

 del fascio di coniche tangenti a b e c in B e C (o ad a e c in A e C, o ad a e b in 

 A e B). Ognuno di questi tre fasci secherà la nostra rete in una c 3 ; da ciò segue ciò 

 che volevasi dimostrare. 



22. Se si secano due rette di un plano con un fascio di c 3 del piano e si 

 congiungono i tre punti di una delle due rette con i tre punti dell' altra appar- 

 tenenti ad una stessa c 3 del fascio si ottengono x 1 rette formanti un inviluppo 

 della 5 a classe. Le due rette assegnate sono doppie per detto inviluppo. 



Siano a e b \e due rette fissate. 



Consideriamo un punto A di a ; per esso passa una c s del fascio che secherà b in 

 tre punti, i quali congiunti con A datino tre rette dell' inviluppo. La retta a è poi dop- 

 pia per l' inviluppo. Infatti consideriamo la c 3 del fascio che passa per il punto comune 

 ad a e b. Questo punto considerato come appartenente a b e congiunto con gli ulteriori 

 due punti in cui detta c 3 seca la retta a, ci dà due rette dell' inviluppo coincidenti con 

 a. Allora possiamo dire che per il punto A passano 5 rette dell'inviluppo, cioè questo è 

 della 5* classe. 



23. Se una rete di cubiche contiene una cubica spezzata in tre rette questa 

 assorbe 3 delle 21 cubiche della rete spezzate in una retta ed in una conica. 



Sia c 3 EE a -f- b -f- c la cubica della rete spezzata in tre l'ette. La rete si può consi- 

 derare come congiungente c 3 ~ a -f- b -j- c ed un fascio di c s , diciamo contenuto in essa. 



Fissiamo in a un punto A, per esso passa una c 3 del fascio che secherà le rette b 

 e c in due terne di punti : congiungendo i punti di una terna con i punti dell' altra si ot- 

 tengono 9 lette. Diciamo omologhi di A i 9 punti in cui queste 9 rette andranno a se- 

 care la retta a. 



Si ha cosi in a una corrispondenza il cui 2 n indice è 9. 



11 primo indice è 13 e si trova facilmente tenendo conto del teorema precedente. La 

 nostra corrispondenza ammetterà _'4 coincidenze: fra queste ve ne sono 6 che si otten- 

 gono al seguente modo : 



Sia T il punto in a seca 'b ; dei V punti omologhi di /' nella corrispondenza 6 ca- 

 dono in T, cioè in T avremo 3 coincidenze : così altre 3 coincidenze cadano nel punto 

 comune ad a e c. 



Sia ora .1/ uno dei rimanenti 18 punti di coincidenza. Allora esisterà una c\ del fa- 

 scio che Recherà b e c in due punti allineati con M\ ne segue che 3 dei 9 punti base dei 

 fascio di c 3 congiungente c\ con e'' '■= a -f- b -j- c sono allineati e perciò in detto fascio 

 esisterà una cubica spezzata nella retta congiungente detti tre punti ed in una couica. 



Inversamente è evidente che una c 3 della rete spezzata in una retta ed in una coni- 

 ca da luogo ad una coincidenza della nostra corrispondenza. Segue che il teorema è veroi 



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