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iV. Spam pinato 



[Memoria XXI.] 



24. In un sistema lineare oc 3 di cubiche piane esiste una totalità co 1 di c 3 spezzate ili 

 una ietta ed in una conica (in ogni rete esistono 21 di tali cubiche). Se il sistema x> 3 

 contiene un fascio § di c 3 spezzate in una retta doppia p fissa ed in una retta 

 variabile in una fascio (X) detta totalità si spessa nel fascio <\> considerato ed in 

 una totalità che sarà secata in 17 c :! da ogni rete del sistema oo 3 non contenente 



Consideriamo il sistema co 3 come congiungente il fascio <J> ed un altro fascio q> di 

 c z appartenente ad esso e indipendente da \. 



Siano Ai, Ai, A 3 i tre punti comuni ad una retta x' del fascio (X) e ad una cubica 

 c\ di q). Perchè nel fascio di c 3 congiungente c\ con la c 3 = 2 p -j- x' vi sia una cubica 

 spezzata in una retta ed in una conica (distinta da c 3 = 2 p -\- x') bisogna che uno dei 

 punti A t appartenga ad una delle tre tangenti a c\ nei punti in cui c\ seca la retta p, 

 perchè le cubiche del fascio avranno in ciascuno di detti tre punti una stessa tangente 



Siano B t , B 2 , B 3 i punti in cui x viene secata da dette tre rette tangenti comuni. 

 Chiamiamo i punti B L omologhi di ciascuno dei punti A L . 



Resta così fissata una corrispondenza in x' (facendo variare c\ in <p) di cui il 2° in- 

 dice, come si vede facilmente, è 3. 



Per trovare il primo indice , si osservi che se si seca una retta p con un fascio di 

 e ed in ognuno dei punti d' intersezione si considera la tangente alla c 3 del fascio pas- 

 sante per esso, questa tangente descriverà un inviluppo della 5 a classe avente la retta p 

 come quadrupla. Ciò è caso particolare d'un teorema dimostrato (n° 22) e si può d'altra 

 parte dimostrare direttamente, perchè per un punto P di p passa una c 3 del fascio e per- 

 ciò una ietta dell'inviluppo; la retta p è poi quadrupla per 1' inviluppo perchè nel fascio 

 di c s ve ne sono quattro che toccano la retta p. 



Tenendo conto dell' osservazione fatta si trova facilmente che il 1° indice della no- 

 stra corrispondenza è 15. 



Uno dei 18 punti di coincidenza è il punto T comune a x e a p. 



Per ogni altra coincidenza si ha in corrispondenza nella rete congiungente c z ==2p-\-x 

 con qp una c 3 spezzata in una retta ed in una conica distinta da e 1 E= 2 p -f- X . 



Il teorema resta dunque dimostrato. 



25. Se in una rete di cubiche v' è una cubica spezzata in una retta p con- 

 tata tre volte questa assorbe 9 delle 21 c 3 della rete spezzata in una retta ed in 

 urta conica. 



Possiamo considerare la rete come congiungente la cubica c 3 = 3p con un fascio <p 

 di c 8 della rete non contenente c 3 = 3p. 



Sia c'i una cubica del fascio <p. I nove punti base del fascio determinato da ci e da 

 c 3 =/> si aggruppano a 3 a 3 infinitamente vicini sui tre punti comuni a c 3 e a p. 



I tre punti di un gruppo non risultano in generale allineati perchè allora in quel 

 punto la ci avrebbe un flesso. Nel caso però che i punti di uno di detti gruppi fossero 

 allineati nel fascio congiungente c\ e c 3 = 3p vi sarebbe una c 3 spezzata nella tangente 

 di flesso di c'i contenente quei tre punti e in una conica. 



Per dimostrare il teorema è evidente che basta far vedere che /' 9 punti di flesso 

 delle c 3 di un fascio cp, descrivono , al variare di c 3 nel fascio, una curva del 

 12° ordine, 



I 9 punti di flesso di una c 3 sono i 9 punti comuni a c 3 colla sua Hessiana. Ora 



