Geometria delle cubiche piane 



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mentre una c 3 descrive un fascio la sua Hessiana descrive un sistema ce 1 d' indice 3. 

 Infatti questo indice sarà il numero delle t' 3 passanti per punto prefissato ed Hessiane 

 di cubiche del fascio. Ora ricordiamo che l' Hessiana di una cubica si può considerare 

 come il luogo dei punti del piano la cui polare rispetto alla cubica si spezza in due rette. 

 Allora del punto consideriamo le coniche polari rispetto alle e 3, del fascio. Queste co- 

 niche costituiscono un fascio che ne ammetterà 3 spezzate in 2 rette. Segue immediata- 

 mente che 1' indice è 3. 



Considerando la curva luogo dei flessi delle c 3 del fascio cp come il luogo dei punti 

 comuni alle c 3 del fascio e alle corrispondenti Hessiane si trova subito che detta curva 

 è del 12° ordine. 



26. Se una cubica ci con punto doppio A 3 tende ad un' altra cubica fissa c\ con 

 punto doppio A { , variando A 2 in una retta p uscente da Ai, due dei 9 punti comuni a 



e c% diciamo M ed N cadono al limite in A l . Vogliamo dimostrare che: 



Al limite la retta MN coincide colla coniugata armonica della retta p rispetto 

 alle tangenti m ed ri di c? nel suo punto doppio A r f 



I due punti M ed N quando A2 è infinitamente vicino ad A { saranno infinitamente 

 vicini ad A t e posti uno, per es. M, in e l'altro, N, in 11. 



Consideriamo il quadrangolo infinitesimo A { A 2 MN e sechiamo i suoi lati con una 

 retta r. Siano L, L' ; R, R ; S, S' le coppie di punti intersezione di r con le coppie di 

 lati opposti del quadrangolo AM, NA 2 ; MN, A^A%; A\N , A 2 M. 



Per il teorema di Desargues dette tre coppie di punti sono coniugati in una involu- 

 zione Il su r. 



Ora si noti che le rette A t M, A 2 N tangenti a ci in A 2 al limite vanno a cadere in 

 AiN, A^M tangenti a c\ in A L . Sicché al limite il punto L' coinciderà con L e il punto 

 S' coinciderà con S , segue che al limite L ed S sono i punti doppi di I\ e perciò sarà 

 (LSRR) = — 1. 



Ciò dimostra che al limite la retta MN diventa la coniugata armonica della retta 

 p = 4 4 A 2 rispetto ad m ed n. 



27. Si consideri nel piano una schiera <j> di G 3 e le 00 1 terne di punti A,B,C, punti 

 di contatto delle tangenti dei G 3 di (p passanti per un dato punto P del piano. 



Vogliamo dimostrare che: fissata ima cubica c 3 vi sono 5 G 3 spezzati in 5 terne 

 come A,B,C e coniugali a c 3 . 



Si osservi per questo che il luogo dei punti A,B, C è una c 5 con punto quadruplo 

 in P (duale di un'osservazione fatta (n<> 22), che le terne A, B, C nelle c' formano una 

 ^3 e che le terne dei punti di <f coniugati ad una c 3 formano una serie oo 2 d' indice 5. 

 Segne che la ^3 e la serie oo 2 si secano in 5 terne perchè stanno nella gì di c°. 



28. Date in un piano una e 11 ed una c m (con ri>m ed m>2J e fissato un punto 



formanti G m coniugati a c m . 

 Sia m = 2 



Allora si tratta di una c n e di una conica c 2 . 



"Sia A un punto di c n ed Ai A n _ x gli ulteriori punti in cui la retta OA seca c n . 



qualunque del piano esistono 



allineati con 



