N. Spam pinato 



[Memoria XXI. | 



Chiamiamo omologhi di A in c n gli n(n — 1) punti in cui c" viene secata dalle rette po- 

 lari rispetto a c 2 dei punti Ai,..,, A n _ x . 



Si vede facilmente che così resta stabilita in e" una corrispondenza [n(n — 1), n[n — 1)} 

 a valenza zero che ammetterà In n — 1) coincidenze e ci darà n{n — 1) coppie di punti 

 di c n allineati con e formanti G* coniugati a c 2 . 



Il teorema è dunque dimostrato per ni = 2. 



Ammettiamo allora che sia vero pei- ni — 1 e dimostriamolo per 



Questa volta consideriamo le (.*_*) {ni — 1) — pie di punti formate con i punti' 

 A 2 ,..., A H _! e di ciascuna di esse, considerata come un G"'~\ troviamo la retta polare ri- 

 spetto alla c'". Chiamiamo omologhi di A in c' 1 gli // \ punti in cui dette rette se- 

 cano e". 



Per trovare il primo indice della corrispondenza a valenza zero che così viene a sta- 

 bilirsi in c n , di un punto A' di c u troviamo la c m ~ 2 polare rispetto a c" 1 . Allora esistono 

 n \'m — \) ^ m — Upl e allineate con e formanti G" l ~ l coniugati a Ciascuna con- 



giungente una tale (m ■ — 1 ) pia secherà ulteriormente c n in n — m-\- 1 punti che saranno 

 omologhi di A'. Il primo indice è pertanto n | " m _ \ \ (w — m -f- 1). 

 Le concidenze della corrispondenza così stabilita in c n saranno : 

 n i n ~ l \(n — m 4- 1) + n { n ~ I )=n \) 1 H — m ~* (n— w/+l) =n \ 1 \m. 



Allora avremo n i" 1 ni-ple distinte di punti allineati con e formanti G'" con- 



\t» — 1/ 



iugati a t'". 



29. Del teorema precedente consideriamo il caso che sia ni = n. Si osservi che le 

 n-ple di punti di c" allineati con costituiscono questa volta i gruppi della g\ che sr 

 ottiene secando e" con il fascio di rette di centro 0. 



Allora abbiamo il teorema. 



Data una gi sopra una c" piana esistono n gruppi di g' formanti G" coniu- 

 gati ad un' altra e" genericamente data, ovvero 



Date in un piano due curve di ordine n c^ e c'ó le rette che secano queste 

 in gruppi di punti coniugati costituiscono , in generale, un inviluppo G" della 



classe n. (') 



Ciò segue dalla nota proprietà che: condizione necessaria e sufficiente affinchè un 

 ({"' spezzato in // punti allineati sia coniugato ad una c" è che il gruppo di punti for- 

 manti il <j" sia coniugato al gruppo di punti che la congiungente quei punti seca nella c' i 



Per ragioni che vedremo in un' altra parte della presente memoria chiameremo G n 

 polo di Cp rispetto a c" r) di c" r/ rispetto a Co e diremo una di queste curve polare del- 

 l' altra rispetto a G ". 



Diciamo y„ la serie di gruppi di punti allineati di c" formanti G" coniugati a c,v. 



(') Detto teorema tu dimostrato per via analitica nella mia nota. « A proposito di un teorema del Lie ». 

 Rendiconti della R. Accademia dei Lincei Voi. XXVIII serie 5* fase. u-12. Nei numeri seguenti faremo ve- 

 dere come anche per via geometrica si può dare al teorema quella precisione data nella nota per via anali- 

 tica arrivando ad introdurre il determinante b di cui si parla al n. 4. 



