Geometria delle cubiche piane 



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Risulta allora che le rette di G n segnano" su la serie y„ e segue che per co- 

 struire 1' inviluppo G" polo di c\ rispetto a c" a basta congiungere i gruppi di punti della 

 y„ che Co determina su c*. 



30. Diciamo a la corrispondenza che fa corrispondere alla curva c\ (variabile nel 

 piano) l'inviluppo G n suo polo rispetto a c" che teniamo fìssa. 

 Dimostriamo in primo luogo che 0^ è proiettiva. 



Fissiamo nel piano due curve c'[ e c% e siano G\ e G% i poli di queste rispetto a 

 c" rj . Allora facciamo vedere che se una curva 6'" descrive il fascio [c n \ congiungente 

 e" e ci il G n omologo di c n in Q a descriverà la schiera [G"] congiungente G\ l e G%. In- 

 fatti sia a una delle u 2 rette comuni a 6r," e G% e siano C r/ , C, e C 2 i gruppi di n punti 



in cui a seca rispettivamente c n c\ e c\. 



Il gi'uppo C a deve essere coniugato a Cj e C 2 e perciò sarà coniugato a tutti i 

 gruppi della involuzione II congiugente t\ e c 2 . Ma tale involuzione non è altro che la 

 involuzione segnata su a dalle curve del fascio [c n ], da ciò segue che la retta a deve 

 appartenere al G n polo di ciascuna curva c" di [<•"] rispetto a e*'. Concludiamo pertanto 



che i G' 1 poli delle c n di devono pass-are per le /7 2 rette comuni a 6"; e ér£. Ciò si- 

 gnifica che detti G n formano una schiera e precisamente la schiera congiungente G'{ e 

 (??. Resta così dimostrato che: 



l a corrispondenza 6^ è proiettiva. 



31. Osserviamo anche qua, perchè ci servirà in seguito, che : 



// polo di una curva spezzata in una retta a contata 77 volte rispetto a c" è 1' in- 

 viluppo G n spezzato negli n punti in cui c" a seca detta retta a. 



Dimostriamo ora che la corrispondenza è involutoria, dimostriamo cioè, mante- 

 nendo le notazioni di prima, che: Se G" è coniugato a c'^ sarà G'^ coniugalo a c n . 

 Infatti sia G n coniugato a c" , allora la c n 2 deve appartenere al sistema lineare di c" deter- 

 minato dalle oo 1 c n spezzate ciascuna in una retta di contata 77 volte. Segue che tì n 

 polo di c n deve appartenere al sistema lineare di G" determinato dai G" poli di detti 

 oo 1 c", ma questi oo 1 poli G n per l'osservazione fatta, non sono altro che i G" spezzati 

 ciascuno negli n punti del gruppo in cui c" e secata da ciascuna retta di G". Ora ciascu- 

 no di questi oo 1 G n sarà coniugato a c" (perchè ogni retta di G" seca C n a e c" in gruppi 

 coniugati). Allora saranno coniugati a c " tutti i G H del sistema lineare determinato da quei 

 oo 1 G" ed in particolare sarà coniugato a c n l'inviluppo G" che appartiene a questo si- 

 stema. 



32. Essendo ogni gruppo di n punti allineati coniugato a se stesso se è 77 dispari 

 osserviamo anche qua che : 



La Q r/ per u dispari è certo singolare. 



