Nicolò Spam pinato 



[Memoria V.] 



Nella F (3) et/stono pare x 2 S s . Un tale S 3 corrisponde ai G 3 spezzati in tre punti 

 variabili in una retta. Diremo F'® la varietà riempita da questi oc 2 S 3 . 



La F (2) è riempita da x 2 S 6 e da oo 5 S,. Ogni S 5 ciascuno S 2 in un 



punto Un tale S. corrisponde ai G 3 spezzati in un punto fisso e in un G 1 variabile; un 

 piano degli x ■'■> corrisponde ai G s spezzati in un G 2 fisso e in un punto variabile in p. 



La F (:,) è costituita da x : S 6 . Un tale S 6 corrisponde ai G 3 aventi una retta 

 doppia in una determinata fetta. 



Tralasciamo di enunciare le proposizioni duali. 



E evidente che le varietà e oltre gli spazi lineari sopra menzionati non 

 contengono spazi lineari di dimensioni più ampie. 



3. Vogliamo ora stabilire alcune relazioni tra le varietà F® e < I ,W . 



La 'I»'' 1 è la 'varietà di lutti gli S 8 passanti per i piani di F' 4 '. Ciò segue 

 dal fatto che i piani sostegno delle stelle generatrici di sono i piani genera- 

 tori di F (l) . Pei- questo basta osservare che una cubica con punto doppio P ammette 

 come coniugati i G z del tipo 2P\-X. 



La ( 1 )(2) è la varietà di tutti gli S s passanti per gli S 3 di F' (3) . Infatti gli S 3 

 di F ' (b) sono i sostegni delle stelle generatrici di < I )(2) . Per questo si osservi che una c 3 

 spezzata in una retta ed in una conica ammette come coniugati tutti i G' A spezzati in tre 

 punti di quella i etta. Analogamente si dimostra che La <I> (3) è la vaaietà formata da 

 tutti gli S 8 passanti per due S 3 generici di F' ,3j . 



La ( I ),;Ì) è la varietà di lutti gli S 8 passanti per un piano qualunque di F ' 4) 

 e per un S 3 qualunque di F ' 3 '. 



La <!>' (3 > £ la varietà degli S s passanti per gli S 5 r//' F (2) . 



L« # (4) é varietà degli S 8 passanti per gli S 6 generatori di F (1) . 



§ 2. 

 La F('). 



4. Andiamo ora a studiare la superficie i r(D) . In primo luogo si ha: 



La F (0) è una superficie del 9" ordine. Infatti un S 7 la seca in 9 punti; per que- 

 sto basta osservare che sono 9 i G" spezzati in un punto triplo coniugati a due c 3 . 



Mette conto notare che la non è dotata di punti multipli. Infatti si possono 

 costruire omografie trasformanti la F l0) in se stessa e portanti un punto P di F® in 

 un altro punto O assegnato comunque in F {b K 



5. Alle rette di p corrispondano in F (b) curve del 3° ordine formanti una rete ; alle 

 coniche di p corrispondono x 5 curve del 6° ordine, mentre alle cubiche di p corrispon- 

 dono in F (b] oo 9 curve del 9° ordine. Questo r' non sono altro che le sezioni iperpiane 

 di i r,5) . Cosichè la F (5) è la superficie razionale normale rappresentata sul piano 

 dal sistema lineare di tutte le cubiche presentatasi a Del Pezzo. 



ó. Le corde di F (5) riempiono la F' (3) e per un punto generico di F' (3) passa 

 una sola corda di F (s) . Infatti se A e B sono due punti di F (5) e G i =3A i G z = d>B i 

 sono i due G 3 di p rappresentati da A e B, la corda AB rappresenta la II ciclica sulla 



