Geometria delle cubiche piane 



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retta A l B i avente per punti tripli i punti A l e B v Inoltre assegnati su una retta tre 

 punti M,N,P esiste nella retta una ed una sola I\ ciclica avente un gruppo nei tre punti 

 M,N;P. 



E evidente allora che / sistemi lineari x 1 di G' del tipo G 3 = 2A,-f-X essendo 

 X un punto variabile in una retta passante per A, sono rappresentati in S 9 dalle 

 rette tangenti a E' ' nel punto A intaglile del G 3 = 3A r Segue immediatamente che 

 /' piani tangenti a E (:,) sono i piani generatori di F l4) . Ovvero: 



La F ,4) è la varietà dei piani tangenti ad F (o) . 



7. Nel precedente n. abbiamo caratterizzato la F^ e la F' {i> rispetto alla F [ -'\ 



Ci proponiamo ora di caratterizzare rispetto alla F^ le altre F [t) . Pei- questo comin- 

 ciamo coli' osservare che gli x 1 piani tangenti ad F ( > nei punti di una sua c :i 

 stanno in un S 6 generatore di F (1) da essi determinato. Infatti un G 3 ee'2X'-\-Y con 

 À' in una retta a, ha la retta a come doppia; essendo a retta doppia per quei G'' sarà 

 doppia per il sistema da essi determinato, ne segue che il sistema lineare x '' che li con- 

 giunge appartiene al sistema lineare x" di G 3 con una retta doppia ina. Dico che i due 

 sistemi coincidono cioè che è x = 6. Infatti le t :1 coniugate ai G 3 del tipo G 3 = 2X' -\-Y 

 con X' in a e Fin p costituiscono il sistema lineare x 2 di c 3 spezzate nella retta a con- 

 tata due volte ed in una retta generica di p Da quanto abbiamo dimostrato segue che 

 la F (1) è la varietà degli S 6 congiungenti gli » 1 piani tangenti ad F (l) nei punti 

 di una stessa e 3 . 



8. Le x :! e -3 del tipo c 3 EEa-\-b -f-c, essendo a, b e c rette di un fascio A { , sono rap- 

 presentati dagli oc 3 S g di una stella di <l>'i 3 > secanti la F'^ 0) in una c 9 con punto triplo. 

 Un tale S 8 (Del Pezzo) (*) è osculatore ad i*^ 5 ' nel punto A rappresentante il G 3 — 3A l . 

 Ricordando che 1' S 5 sostegno di detta stella è in F^ si ha: /<* F ( -> èia varietà riem- 

 pila dagli S 5 osculatori ad F {) 'la <I>' (3) è V inviluppo degli Ss osculatori ad F ,5) . 



9. Un piano tangente ad /<* l5) e un S. osculatore ad F {h) hanno in comune un 

 punto. Per questo basta ricordare i sistemi che questi spazi rappresentano. 



Facendo variare il piano tangente e tenendo fisso l' S 5 osculatore quel punto interse- 

 zione descriverà una superficie V 2 che è una superfìcie di Veronese. Infatti i punti 

 dell' S 5 oculatore rappresentano i G' J del tipo G 3 =P-\-G ì con P fisso e quindi si possono 

 mettere in corrispondenza biunivoca con i G' 1 di p, Ora i punti comuni all' S- e ai piani 

 tangenti a F ib) rappresentano i G :ì del tipo G s ==P-\-2X e quindi i punti di Vi in quella 

 corrispondenza sono omologhi dei G' 2 spezzati in un punto contato 2 volte. La V> è per- 

 ciò una superficie di Veronese. Questa Vi la diremo connessa ad F [o) . Abbiamo allora : 

 la F (2 è la varietà S. degli ambienti delle superfìcie di Veronese connesse ad F l5) 

 e che un S 5 di E v2) seca E ,4) /// una superfìcie di Veronese.. 



10. Dimostriamo ora che la E (8) è la varietà dei piani tangenti alla superfìcie 

 di Veronese connesse ad F (5) . Basta per questo ricordare la corrispondenza sopra fissata 



(*) DEL PEZZO. Sugli spazi tangenti ad una superficie . Rendiconti Accademia delle Scienze Fisiche e 

 Matematiche Napoli - 1886 - pag. 176. 



