Geometria delle cubiche piane 



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F {A . Sia inoltre x il piano tangente ad F (,,) in M[ e sia V', la superfìcie di Veronese con- 

 nessa ad F^ e che tocca questa nel punto 3/ r La V'< e x si secano in un punto M' 

 che diremo reciproco di il/. Se M rappresenta il G 3 =2A \-B. L i c 3 di i^' r,) passante per 

 Mi ed yJ7i rappresenta i G 3 spezzati nei punti della retta AB ciascuno contato 3 volte. 

 Chiamiamo la superficie sviluppabile aderente a c 3 . Se chiamiamo ni ed ni' le gene- 

 ratrici di T 1 tangenti a c' nei punti M L , M[ in ed ni rappresentano i G 3 del tipo G 3 =2B-\-X 

 e 6" 3 =2/i-pÀ' variando X in 5. Si osservi inoltre che la retta r congiungente M ed M' 

 rappresenta i G 3 del tipo C 3 =.-/-j-£?-|-V variando À' in s. Detta ietta è bitangente a T' 

 infatti le terne del tipo ( A, B. X ) costituiscono una I\ le cui 4 terne con punto doppio 

 sono {AAB).(BBA) ciascuna contata due volte. Da quanto abbiamo detto possiamo trarre che: 

 Le rette congiunse liti due punti reciproci di F" sono le rette bitangenti alle 

 superfìcie sviluppabili aderenti alle c 3 di F^'. / due punti reciproci sono i punti 

 di contatto. 



16. In seguito a quanto abbiamo detto nel n. precedente osserviamo che mentre il 

 punto M percorre la retta ni il punto M' percorrerà la conica di Fa passante per M' ed 

 Mi infatti se il G 3 =2B J r A percorre il sistema lineare di G 3 del tipo G 3 ^2B-\~X variando 

 X in s, il G 3 =2A-\-B percorrerà il sistema di G 3 del tipo G 3 =2X-{-B (variando À' in s) 

 che rappresenta la conica di V-2 passante per M' e per Mi. Si osservi che il piano di 

 detta conica contiene i punti M\ , M ed M e perciò rappresenta i G 3 del tipo G 9 =.B-{-X-\~Y 

 con X e Y varianti in 5. Ma le oo 2 terne (B,X, Y) costituiscono una 7 : T i cui tre punti 

 tripli cadono tutti nel punto B e perciò quel piano seca la c s nel punto Mi contato tre 

 volte cioè è il piano osculatore a c 3 in Mi, Abbiamo quindi: se un punto M di F <4) de- 

 scrive una retta tangente ad una c 3 di F (r,) il suo punto reciproco descrive una 

 conica il cui piano oscula la c 3 . Ovvero. I piani delle coniche delle superfìcie di 

 Veronesk connesse ad . tangenti ad F l5 , sono i piani osculatori delle c 3 di F (6) . 



17. Passiamo ora caratterizzare gli S 4 tangenti ad -F- 4) . 



Sia M un punto di F :4 ' rappresentante il G 3 = A-\-2P. Osservando che l'S 4 tangente 

 ad -F (4) nel punto M è determinato dal piano generatore di F w passante per M e dal 

 piano tangente in M alla superfìcie di Veronese connessa ad F^ passante per M, si 

 trova che detto S 4 rappresenta i G 3 del tipo G 3 = P -f- G 2 variando G 2 nel sistema 

 di G 2 passanti per la retta AP, e si conclude facilmente che: un S 5 generatore di 

 F (2) contiene gli S 4 tangente ad F (4) nei punti del piano generatore di F (4) appar- 

 tenente ad S 5 e quindi possiamo dire pure: la F u) è il luogo degli S 4 tangenti ad F (4) . 



Si osservi ora che se invece del punto M si considera un punto della retta congiun- 

 gente M col punto R rappresentante il G 3 = ZP si vedrà che l' S 4 tangente ad F^ in 

 detto punto e lo stesso S 4 tangente in F'^ in M, e quindi un S 4 tangente ad F (4) tocca 

 questa lungo i punti di una retta. 



Si può aggiungere facilmente che due S 4 qualunque tangenti ad F (4) si secano 

 in un punto di F (3 ' e stanno dentro un S s di O* 5 ' e che un S 8 di 3>< 5 ) contiene oo 2 

 S 4 tangenti ad F <4) . 



18. Sia 6 -3 la cubica di F [b > rappresentante i G 3 del tipo G 3 =iX variando X in una 

 retta a. Diciamo T la varietà a tre dimensioni riempita dai piani tangenti ad -F (5) nei 



