Geometria delle cubiche piane 



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Ti hanno pei- intaglile uno stesso punte A di a, invece ad un punto C di c 2 cor- 

 rispondono tutti i punti di una retta r' uscente da A e appoggiata a b. 



21. Sia x un piano generico di S i , indichiamo con la omografia su pi che si ot- 

 tiene considerando come omologhi due punti A', ed ì\ se sono intersezione con pj di due 

 piani a e [3 di \a\ e [b] intersecantisi in un punto del piano x. La omografia stabilita in 

 pi si riflette in una omografia cu di p ed allora seguirà che il piano x rappresenterà una 

 sjperficie T° di F^ 4 '. Abbiamo dunque : se un punto di S, descrive un piano il punto 

 Omologo in F (4) descrive una superficie T" segue che se un punto di S 4 descrive 

 una retta l'omologo in K (l1 descrive una cubica e quindi le superficie T di S 4 ima- 

 gini delle sezioni iperpiane di F '" sono del 3" ordine. 



Osservando che se un punto di S A descrive una retta appoggiata ad a il punto omo- 

 logo di -F (4) descrive una retta si deduce che la ri tta a è doppia per le ipersuperficie 

 F 3 imagini delle sezioni iperpiane. Analogamente si ha : la retta b è semplice per 

 le ipersuperfìcie T n . 



22. E evidente che ad un punto di a corrisponde una superficie di Veronese; 

 ad un punto di b corrisponde un piano generatore. Da questa osservazione segue 

 che: se un piano x di & K seca a (e non b) la r 9 di F' 4) che esso rappresenta si 

 spezza in una superfìcie di Veronese ed in una superfìcie del 5" ordine; se un 

 piano x di S 4 seca b ( e non a ) , la V corrispondente si spezza in un piano ed 

 in una superficie dell' 8° ordine. Dal fatto che le superficie r 9 di F 4) sono rappre- 

 sentati nei piani di 6' 4 si può trarre facilmente che due T ! ' di F (4) sono secate proiet- 

 tivamente dai piani generatori di F {i) ovvero dalle superficie di Veronese connesse 

 ad F< 6) . 



23. Due sezioni iperpiane sono rappresentati da due ipersuperficie T' che si secano 

 in una superficie del 9° ordine che sarà 1' imagine della sezione di F w con un£ 7 . Questa 

 superfìcie conterrà la retta a come 4 pi a e la retta b come semplice. Se sechiamo detta 

 superficie con una terza ipersuperficie r 3 otterremo una curva del 27° ordine spezzata 

 nella ietta a contata 8 volte, nella retta b e in una curva residua del 18° ordine. Questa 

 e 18 rappresenterà la e 24 sezione di F (<t) con 1' 8 e intersezione dei tre # a che ci danno le 

 tre sezioni iperpiane considerate, si dimostra facilmente che la c 18 s' appoggia ad a in 12 

 punti e a b in 6 punti. Consideriamo ora in c\ una 4 5 ipersuperficie T 3 , questa secherà 

 c ls in 54 punti dei quali L'4 saranno assorbiti dai 12 punti che c ls ha in a ciascuno con- 

 tato, due volte e 6 saranno assorbiti dai 6 punti che c 18 ha in b. Fuori d'i a e b restano 

 24 punti. Dunque : quattro V 3 si secano fuori di a e b in 24 punti ; ciò significa, 

 come sapevamo per altra via, che la F (4) è del 24 {> ordine. 



24. La -F (4) è normale per l'# 9 ? Ovvero: le ipersuperficie r :! costituiscono S 4 il si- 

 stema di tutte le ipersuperfìcie con retta doppia in a e semplice in bì 



Per rispondere a tale domanda osserviamo intanto che tutte le ipersuperficie del 3° 

 ordine di <S 4 sono oc 34 . Ora perchè una superficie del 3° ordine di equazione 



(1) 



f(x k x t . . . xj=0 



