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Nicolò Spampanato 



[Memoria V.] 



abbia una retta r come doppia bisogna imporre 13 condizioni. Infatti se scegliamo in r 

 i punti fondamentali (10000) e (01000) l'equazione della retta r sarà data dal sistema 

 x%=0 x 5 = 0. Allora perchè la retta r appartenga alla ipersuperfìcie (l) è neces- 



sario e sufficiente che siano nulli i coeffìcenti dei termini non contenenti nessuna delle 

 variabili .r 3 x 4 .r 5 nel polinomio f(x K . . . x 5 ) e nei cinque polinomi che si ottengono 

 derivando questo rispetto ad xi, x-2 , . . . Xi, tali coefficienti sono precisamente 13. Segue 

 che il sistema delle ipersuperficie del 3° ordine di S 4 aventi una retta doppia in a ed una 

 semplice in b ha la dimensione 34 — 13 — 4=17. Concludiamo che la F' 1 ' non è normale 

 per V S 9 ambiente. 



25. Consideriamo un S n contenente il nostro S g e diciamo F 4 la varietà a 4 dimen- 

 sioni di *S l7 rappresentata in 8 i dal sistema lineare oo 17 di ipersuperficie del 3° ordine 

 aventi una retta doppia in a ed una retta semplice in b. Dal n. 23 segue che la F 4 è 

 del 24® ordine. Proiettando la F i da un <S' 7 di $ i7 non avente punti in comune con F 4 

 in <S 9 si otterrà o la F^ o una varietà proiettivamente identica ad F^. Quindi la F (4) 

 si pnò considerare come proiezione in S 9 di una varietà Ff normale di un Si7 . 

 Si dimostra facilmente che: ai piani di S> 4 corrispondono superficie del 9° ordine 

 di F 4 proiettivamente identiclie a F () ; in F 4 esistono oo 2 piani e oo 2 superficie di 

 Veronese ; per un punto di F, passa uno di tali piani e una di tali superficie, 



questo piano e questa superficie hanno in comune soltanto quel punto. 



§ 4. 

 La F(*). 



26. Per trovare l'ordine di F 2 essendo questa a 7 dimensioni bisogna secarla con. 

 un S 2 , allora tenendo conto che in un sistema lineare oo 2 di 6 S vi sono 21 G 3 spezzati 

 in un punto ed in un G 2 segue che: la F (2 ' è (tei 21° ordine. 



Si dimostra facilmente che: Due piani generatori di F (2) sono secati proiettiva- 

 mente dagli S 5 generatori di F ( -' e inversamente due S 5 generatori sono secati 

 proiettivamente dai piani generatori ; due S 5 generatori di F ( ?) si secano in un 

 piano di 2* specie di F (3) ; due S 5 generatori di F (2) sono congiunti da un S 8 di 

 (6) . Un tale S 8 contiene oo 1 di detti S 5 . Chiamiamo W 6 la varietà a 6 dimensioni co- 

 stituita dagli oo 1 5 3 generatori di F' ? ) appartenenti ad un S 8 di $ (5) . Tenendo conto del 

 u. 18 della Memoria I si trova che la W 6 è del 6 n ordine. 



27. Consideriamo nn piano generatore p di F (2> rappresentante i G 3 del sistema li- 

 neare oc 2 di G z , del tipo Q 3 =Q*-{tX facendo variare G\ in una schiera cp di G 2 il piano 

 p descriverà una varietà a 3 dimensioni che diremo W % . La W 3 è del 3° ordine ( Me- 

 moria I n. 19). Una W\ e una W\ si secano in una superficie quadrica W\. (Memo- 

 ria I n. 20). 



Consideriamo una retta di F w e domandiamoci : un piano condotto per la retta data 

 in F U1 in quanti punti seca F w fuori della retta? La risposta è data dal duale del teo- 

 rema n. 21 Memoria I: Un piano condotto per una retta di F U) seca ulteriormente 

 F w in tre punti. Si ha pure. Un S 3 condotto per un piano di F^ seca ulteriormente 



