Geometria delle cubiche piane 



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Indichiamo con H5 la varietà che si attiene proiettando da ic la R 4 . La H rappre- 

 senta gli 00 ft G 3 di p co// tangente doppia (d'inflessione) passante per P e co» /' 

 tf//é? punti di contatto tutte e due in P. Infatti congiungendo un 6' 3 spezzato in tre punti 

 A, B, C di una retta a passante per P con un C s =2P-\-X si ottiene una schiera di G 3 

 aventi la retta a come doppia e con i punti di contatto in P. Faremo vedere in seguito 

 che la Hr, è del 5° ordine. Si osservi intanto che fa //., sta dentro la Ef (n. 32). Si ag- 

 giunga che: //// S3 proiettante un punto di R, da ic contiene 00 2 punti di R, for- 

 manti un piano; un S 6 generatore di Ti ha in S : ', un S 4 c//<? è il luogo degli S 3 

 /'// c/// Se è secalo dagli altri So generatori di Ti ; g//' S :5 /// cui So é secato dagli 

 altri So dentro S 4 formano un fascio di sostegno x. 



38. Indichiamo con $1 l'inviluppo di S5 formato dagli 00 1 i$ i che gli So generatori 

 di Ti hanno di S5 Preso un punto J di S5 per esso passano due spazi S, e quindi /'///- 

 viluppo $1 rfz S5 è della 2* classe. Si vede facilmente che la iperquadrica $ 4 invilup- 

 pata da $1 rappresenta i 6 3 spezzati in P e in un G' 2 aventi coincidenti le due rette 

 uscenti da P. È evidente che la i. appartiene ad H5 e precisamente la ty 4 è la va- 

 rietà che H5 ha in S 5 '. 



39. Tenendo conto del duale del teorema n. 26 Memoria I si trova che /'S7 tangente 

 a Ti nel punto rappresentante un 6\ con retta doppia a passatile per P rappre- 

 senta il sistema lineare 00 1 di G 3 passanti per a ed aventi in a per punto di 

 contatto il coniugato armonico di P rispetto ai due punti di contallo che GÌ ha 

 nella sua retta doppia a. Segue che un S? tangente a Ti tocca questo lungo un 

 S 5 . Se f Si tangente rappresenta i G 3 passanti per a ed aventi una retta doppia 

 in a e per punti di contatto una coppia qualunque della \\ con punti doppi in 

 P e in T. 



Si trova ancora facendo variare T in a: gli co 1 Si che toccano T'\ lungo spazi S 5 

 di uno stesso Se generatore di Ti formano un fascio di sostegno Se, che sta dentro 

 /'Ss di *I> (5) che contiene queir Se, ; gli S5 di contatto che stanno dentro un Se 

 generatore formano il fascio avente per sostegno V Si che la H5 ha in Se e perciò 

 la H5 è il luogo degli S 4 sostegni degli Ss rf/ contatto che stanno in uno stesso 

 Se rfz r? . Segue immediatamente che la H 5 é doppia (cuspidale ) />cr //* Tv; due Se 

 generatori di Ti infinitamente vicini hanno in comune un S4 di Hó . 



40. Da quanto abbiamo detto nei n. precedenti segue che: /' S s tangente a F (1) in 

 un suo punto e l' Su di *I> to) passante per quel punto, ovvero la <I> (5) è la varietà 

 degli S s tangenti a "F m ; //// S 8 di *I> (5) tocca F (1) lungo un Se generatore. 



In particolare consideriamo gli co 1 S s di ( I> (5) tangenti ad lungo gli Se di Ti. 

 Questi S 8 formano un inviluppo $3 </c//<7 3 a classe. Infatti dentro <E> (5) costituiscono 

 la varietà duale di Lina cubica di F^. 



Due Se generatori di Ti infinitamente vicini si secano in un 8 4 e perciò stanno in 

 un S 8 . Ebbene questi S 8 sono gii S 8 di e in generale si ha: due So generatori di 

 F (i) infinitamente vicini stanno in un Ss di <I> (5) . 



4L Abbiamo visto che la T-, si può ottenere proiettando la li.-, dal piano aggiun- 

 giamo qua che la Ti si può ottenere proiettando da ~ la F^. Ma % è un piano di -F' 4 



