Geometria delle cubiche piane 



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Questi teoremi sono casi particolari di teoremi generali dimostrati nella mia nota ci- 

 tata a pag. 12 della Memoria I. 



45. Consideriamo una retta r congiungente due punti M ed M i di i y,(8) rappresen- 

 tatati i due G* : G 3 =A-\-B J r C G'i^A^-B^-C^ Facciamo tendere M\ ad M lungo una 

 curva di F^ 3) , al limite il G\ sarà infinitamente vicino a G 6 in questo caso la schiera che 

 li congiunge qual' è ? Per rispondere a tale domanda consideriamo la questione duale. 

 Consideriamo due cubiche c 3 =a~\-b-\-c e (%E=a l -\-b l -\-c ì . 11 fascio che essi determinano 

 avrà per punti base i punti i 9 punti comuni alle due terne di rette a, b,c; a lf b l} c\. 

 Quando c\ tende a c\ cioè quando a { b y c t tendono rispettivamente ad a, b, c, 6 dei 9 

 punti base coincidono a 2 a 2 e precisamente verranno infinitamente vicini ab L e a fi 

 determinanti una direzione che diremo s ; i punti bei e bic determinanti una direzione p, 

 e i punti ca lt c\a determinanti una direzione q. Allora il fascio congiungente c 3 e c\ avrà 

 al limite per punti base i punti aa\ , bbi , cc\ e A=ab i7 B=bc l , C=cai, le c A aventi in 

 questi ultimi tre punti per tangenti le rette s, p, q. Segue immediatamente che: /'S, ; tati 

 genie ad F (3) in tin suo punto M rappresentante un G 3 =A-)-B-[-C rappresenta il 

 sistema lineare ce 6 di G 3 passatiti per le rette AB, BC , e CA ed è l'Se congiun- 

 gente i tre piani di l a o di 2 a specie di i r(3) passanti per M. 



46. Dal modo stesso come 1' Su tangente a F^ nel suo punto M è stato caratteriz- 

 zato segue che un Ss tangente a F^ in M e rappresentato da una c 3 equianarmonica 

 avente il triangolo polare nel trilatero ABC se è G ? '=A-\-B-\-C il (P rappresentante il 

 punto M. Segue che: 



Gli iperpiani tangenti a F (3) costituiscono un inviluppo della classe 4 A . 



Rappresentazione della F( 3 ) in un S„. 



47. Consideriamo il piano k tangente ad F {o) nel punto O rappresentante il G 3 =3/ > , 

 consideriamo inoltre un punto generico R di F^ rappresentante il G i ~A-\-B-\-C. 



L'#3 congiungente R con rappresenterà il sistema lineare di G z passanti per le l'ette 

 PA, PB e PC ed aventi in dette tre l'ette per punti di contatto i punti A, B, C. Segue 

 che detto 8 3 oltre di R e di % non ha altri punti comuni con F^ e quindi: 

 È generalmente biunivoca la proiezione di F (3) da un suo piano t tangente ad 

 F (5) sopra un Sé generico di S9 . 



Se un punto R' di $é è rappresentato da un inviluppo diciamo G\, avente per rette 

 uscenti da P tre rette a, b, c e se in dette rette sono A, B, C i tre punti di contatto, 

 il G 3 =A-\-B-{-C rappresenterà il punto R di F^ omologo di R in K,. 



48. Sia r una retta di Sé passante peri?'. Mentre R' descrive r , G\ descriverà una 

 schiera e ad ogni G' di detta schiera corrisponderà una terna (A, B, C) formata dai 

 punti di contatto delle tre rette di G 3 uscenti da P. 



Il numero di terne formanti G* coniugati ad una e' data ci darà l'ordine della curva 

 di -F (3) rappresentata dalla retta r . 



Intanto osserviamo che il luogo delle terne ( A, B, C) è una c 5 avente il punto P 

 come quadruplo. ( Duale d' un caso particolare del teorema n. 22 Memoria I ). Si osservi 



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