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Giuseppe Marlelta 



[Memoria VII.] 



una congruenza C 2 , rispettivamente i numeri (finiti) che indicane; quante cubiche di C 2 

 passano per un dato punto generico e quante hanno per corda una data retta generica 

 dell'ambiente. Ancora: un punto, non fondamentale, per cui passino infinite cubiche della 

 congruenza C 2 , si dirà singolare , nome che sarà pure assegnato ad una curva che sia 

 luogo di punti siffatti. 



2. Siano P l} P 2 ,P 3 ,P 4 quattro punti non complanari; le cubiche gobbe ognuna delle 

 quali passi per essi, generano un 4-complesso C 4 . 



Questo 4-complesso è razionale ; infatti fìssati, p. es-, due piani % e x, uno pas- 

 sante per P i e P z , l' altro passante per P z e P 4 , le cubiche di C 4 si possono mettere in 

 corrispondenza algebrica biunivoca con le coppie di punti ognuna costituita da un punto 

 di ti e da un punto di x', ed è noto ( 4 ) che la varietà di siffatte coppie è razionale. 



3. Il 4-complesso 6' 4 contiene evidentemente infinite congruenze e infiniti complessi; 

 basterà assoggettare le sue cubiche rispettivamente a due condizioni ovvero ad una sola 

 condizione. 



Fra le congruenze di C 4 degne di nota, è senza dubbio quella C 2 generata dalle cu- 

 biche, di questo 4-complesso, incidenti due volte una data curva c irriducibile o no. 



Indico con d ed li V ordine e il numero dei punti doppi apparenti di c, e con nti 

 (i— 1,2,3,4) la multiplicità di questa curva nel punto P t ; supporrò che c non abbia, 

 oltre di questi, alcun altro punto multiplo ( 5 J. 



Per calcolare V ordine ;/ della congruenza C 2 , si consideri un punto generico M del 

 piano (ù = P l P i P s \ ebbene è facile dimostrare che il numero delle cubiche di C 2 passanti 

 per M, (cubiche tutte degeneri e, precisamente, tali che ognuna di esse ha una conica in 

 i») è 



h i -f C d— m i — w. 2 — m 3 ) [2(d— mJ—( nt i + ni 2 -f nt ì -\-l)'\ ì 



ove //j indica il numero delle corde di C passanti per il punto Y J 4 . Ne segue, esprimendo 

 1/ L mediante li,d ed ;;/ 4 , 



(1) n =h + d [2d — 1) -(3d — 1) -ff SwJ 2 . 



Per calcolare la classe v di C 2 , si consideri una retta /' incidente genericamente am- 

 bedue le rette P t P ì e P 3 P 4 . Se k t è una cubica di C 2 avente r per corda, h x può essere: 



o una delle ^ 1H ,\ 1,1 ^ cubiche di C 2 ognuna avente una conica nel piano r.P x P t \ o una 

 delle y '"^ ; " 4 \ cubiche di C 2 di ognuna delle quali fa parte una conica del piano r.P z P i ; 



( 4 ) G. SEGRE, Stille varietà che rappresentano le coppie di punti di due piani o spazi [Rendiconti del 

 Circolo Matematico di Palermo, tomo V (1891)] n. 4. 



( h ) Si noti che se c ha / punti doppi effettivi, non coincidenti con alcuno dei punti P,, le formule che 

 darò saranno ancora valide includendo / nel numero //, cioè rappresentando con A il numero totale dei punti 

 doppi (apparenti effettivi) non coincidenti coi punti Pi. Se non che, in tale ipotesi, della congruenza Q 

 faranno parte t congruenze ciascuna d'ordine 1 e classe 1. Si dovrà dunque tener conto di queste se si vuole 

 1' ordine e la classe della congruenza generata dalle cubiche di Q ognuna incidente c in due punti general- 

 mente distinti. 



