Un po' di geometria dell' S 3 di cubiche gobbe 



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o infine k l può essere una delle x cubiche di C 2 a ciascuna delle quali appartengono 

 ambedue le rette l\ P 2 e P a Pi- Se dunque si osserva che .v è l'ordine della rigata ge- 

 nerata dalle corde di c incidenti la retta P\P 2 , diminuito delle multiplicità di P 3 e t\ per 

 questa rigata, si può concludere 



(2) v—h-{- 3(o) — (2d — lyEmt + Jlmtmj con / <J . 



Le forinole (1) e (2), dunque, porgono rispettivamente l'ordine e la classe 

 della congruenza generata dalle' cubiche gobbe ognuna passante per quattro punti 

 dati P; (i — 1,2,3,4), e incidente due volte una data curva d'ordine d, con h punti 

 doppi apparenti, e con la multiplicità m, in P,. 



Supponendo, p. es., che la curva c sia una retta non passante per alcuno dei punti 

 P u P 2 ,P ì ,P i , si trova u = l e v = 0, risultato noto ( 6 ). 



Se c è una conica non passante, anch'essa, per alcuno dei punti Pi, P 2 , P 3 ,P 4 , la 

 congruenza C 2 risulta d'ordine u = 6 e classe v = 3. 



4. Supponiamo ora che la curva c, del n. precedente, si spezzi in due curve irridu- 

 cibili c e c" ; la congruenza C, si spezzerà in tre congruenze irriducibili, e precisamente: 

 in quella C 2 delle cubiche, del -I-complesso t\ , incidenti due volte c ; in quella C 2 delle 

 cubiche, di C i , incidenti due volte c" ; e in quella C* delle cubiche, di C 4 , ognuna inci- 

 dente una volta e e una volta c". 



Per calcolare l'ordine u* e la classe v* di C% t basterà osservare che è n*=n — n — 11" 

 e v*=v — v'- — v", indicando con 11 e v' l'ordine e la classe di C 2 , e con e v" l'ordine 

 e la classe di Có'. Se dunque d \h ' ,m\ rappresentano l'ordine, il numero dei punti doppi 

 apparenti, la multiplicità in P t della curva c', e se analogo significato hanno d" ,h" ,m{ per 

 c" , si ha 



(3) n* = od'd" — 3( d" £ m \ + d[ £ m" ) -f 2 ( £ m\ ) ( £ w ■ ) — S w ; , 



e 



(4) v* = 4d'd"— 2(d"Zm' i + ^2»/* ) + + Km'lm] — con /<;. 



Se, p. es., le curve e e c" sono due rette sghembe non passanti per alcuno dei punti 

 Z^,P 2 ,P 3 ,P 4 , si trova n* = 5 ( 7 ) e v* = 4. 



Se c' è una conica passante per i punti P V ,P 2 ma non per P 3 , nè per P 4 , e c" è 

 una conica passante per P 3 , P 4 ma non per P u nè per P 2 , la congruenza £2* generata 

 dalle cubiche gobbe ognuna passante per P^ P 2 , P 3 , / J i e incidente, una sola volta, am- 

 bedue le coniche c e c" , è d'ordine n* = 4 e classe v* = 4. 



5. Un primo tipo, fra i complessi di C 4 degni di nota, è quello rappresentato dal 



( 6 ) Veneroni, 1. c. in ('), n. 7; e il mio lavoro citato in (*), n. 10 a). 



( 7 ) Che siano 5 le cubiche gobbe passanti per cinque punti dati e incidenti due date rette sghembe non 

 passanti per questi punti, era noto; cfr. H. ScHUBERT, Kalkiil der abzahlenden Geometrie, §25, pag. 171. 



