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Giuseppe Mari et la 



[Memoria VILJ 



complesso r\ generato da tutte le cubiche passanti per i punti P l ,P i , P 3 , P 4 , e incidenti, 

 generalmente una sola volta, una data curva irriducibile c. 



Per calcolale l'ordine n x di Y x (n. 1), basta osservare che indica quante sono le 

 cubiche di C 4 incidenti c, incidenti una retta generica r, e passanti per un punto generico 

 M dell'ambiente. Dunque n x è l'ordine della congruenza generata dalle cubiche di C 4 in- 

 cidenti ambedue le c ed r ; basterà quindi applicare la formula (3) del n. precedente. Si 

 ha dunque 



indicando, al solito, con d ed ni, rispettivamente l' ordine c e la multiplicità di questa curva 

 nel punto P, . 



Analogamente la classe v t di I\ (n. 1) indica quante sono le cubiche di C 4 incidenti 

 C ed r, e aventi per corda una data retta generica s. Dunque v, è la classe della con- 

 gruenza generata dalle cubiche di C 4 incidenti ambedue le c ed r; per calcolare v x basterà 

 dunque applicare la formula (4) del n. precedente. Si ha quindi 



Per es. se c è una retta non passante per alcuno dei punti P 1? l\ , P 3 ,P t , il complesso 

 T 1 generato dalle cubiche gobbe passanti per questi quattro punti e incidenti c, è d'ordine 

 Hi = 5 ( 8 ) e di classe v k = 4. 



Se c è una conica passante per i punti P l e P 2 , ma non per P 3 e P 4 , il complesso 

 Fj sarà d'ordine n t = 4 e classe v l = 4. 



6. Ma un altro tipo di complessi, di C t , che per la sua eleganza si presenta più in- 

 teressante di quello studiato nel n. precedente, è rappresentato dal complesso V generato 

 dalle cubiche di C 4 su ognuna delle quali il birapporto dei quattro punti P 1 ,P 2 , P 3t P A è 

 costantemente eguale ad un numero dato X; complesso che quindi è di' classe zero. 



Le corde delle cubiche di V , dovendo proiettare i quattro punti ora detti secondo un 

 gruppo di piani avente il birapporto X, appartengono tutte ad uno stesso complesso tetrae- 

 drale T avente P l P^P 3 P i per tetraedro singolare. Ne segue subito che V è d'ordine 2, e 

 precisamente le sue oo 1 cubiche passanti per un punto qualunque D deli' ambiente, appar- 

 tengono ad un cono quadrico : il cono quadrico (D), di T, avente il punto D per vertice. 

 In (D), è poi evidente, le cubiche di T' costituiscono un fascio. 



Da quanto si è detto ricaviamo ima prima costruzione di T', dati che siano i punti 

 fondamentali P l ,P ì ,P 3 ,P i , è il numero X. E invero si consideri il complesso tetraedrale 

 T individuato dal tetraedro singolare P 1 P i P 3 P i e dal birapporto X. Preso un punto qua- 

 lunque D dell'ambiente, le cubiche passanti per P P 2ì P 3 , P t , D, e poste nel cono (D) 

 di T, costituiscono un fascio. Ebbene questo fascio, al variare del punto D, genera il ri- 

 chiesto complesso V . 



7. Proiettando una cubica di V da un suo punto qualunque, si ottiene un cono qua- 



(5) 



n \ — 5d — 3 -ni;, 



(ó) 



v 1 = 4d — 22ni i . 



(') Vbneroni. 1. c. in ('), n. 12. 



