Un pò" di geometria dell' S 3 di cubiche gobbe 



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drico di T. Ne segue una seconda costruzione di V . Si fìssi ii complesso tetraedrale 

 T; le cubiche, ognuna comune a due coni quadrici di T, generano il richiesto complesso V. 



8. Da uno, p. es. P lf dei quattro punti fondamentali di V, si proiettino le cubiche 

 di questo complesso ; si ottengono così infiniti coni quadrici. Ebbene questi coni costitui- 

 scono una rete, e su ognuno di essi le cubiche di T" generano un fascio. 



Siano infatti r ed r due rette genericamente condotte da P t ; le cubiche di T pas- 

 santi per un qualunque punto M di appartengono (n. 6) ad un cono quadrico (M) se- 

 cato ulteriormente da in un punto M . Le cubiche di V poste in (M) costituiscono un 

 fascio; quella, di questo fascio, passante per M' è dunque una cubica, di F, proiettata da 

 Pi secondo un cono quadrico passante per le rette /' ed r . Ecco dunque che effettiva- 

 mente i coni proiettanti ila Pi le cubiche di V costituiscono una rete. 



Il ragionamento fatto dimostra, inoltre, che le cubiche di T poste in uno qualunque 

 dei coni di questa rete, costituiscono un fascio ; e invero si è osservato che pei' il punto 

 M, e nel cono della rete passante pei' le rette r ed r, passa una sola cubica di IT". Si 

 osservi, ancora, che il fascio ora detto è perfettamente individuato appena sia noto il cono 

 quadrico, della rete, su cui esso deve giacere. Infatti le sue cubiche passano per i punti 

 fondamentali P 2 ,P i ,P i '> e toccano nel punto Pi la generatrice, del cono, che insieme con 

 le rette PiP>, Pi P 3 , -Pi P 4 , costituisce un gruppo di birapporto X. 



Ne segue una terza costruzione del complesso T . 



Fissati quattro punti non complanari Pi , P 2 , P 3 , P 4 , si considerino i coni quadrici che 

 passano per le l'ette Pi P, , Pi P 3 , Pi P 4 . Su ognuno di essi costituiscono un fascio le cu- 

 biche passanti per P z ,P. ì ,P i , e tangenti in Pi quella generatrice, del cono, che insieme 

 con le tre rette, ora dette , formano un gruppo di birapporto \. Ebbene questo fascio di 

 cubiche, al variare del cono, genera il richiesto complesso T ". 



9. Sia r\ un complesso irriducibile di cubiche gobbe; esaminiamo P ipotesi che una retta 

 generica dell'ambiente sia corda di un numero finito />(? di cubiche di r,, onde deve 

 esistere un complesso di rette Ti tali che ognuna di esse sia corda per oo 2 cubiche di r\. 



Una generatrice g del cono (M) di Ti avente per vertice un punto generico M dello 

 ambiente, è quindi corda di co 1 cubiche, di 1^, tutte passanti per M ( 9 ), cubiche che non 

 variano al variare di g in (M), perchè altrimenti per il punto M passerebbero oo 2 cubiche 

 di Y i , ciò che è assurdo. Ne segue che una generica di queste cubiche, essendo irriduci- 

 bile, è proiettata da ogni suo punto mediante rette di T v Ma Y x è irriducibile, quindi si 

 può affermare che ogni cubica di questo complesso ha le corde appartenenti a Ti , ciò 

 contro P ipotesi che una retta generica dell' ambiente sia corda di un numero finito /> 

 di cubiche di I\ . 



10. Ora mi propongo di dimostrare che 

 esiste un solo tipo di complessi di cubiche gobbe le corde delle quali costituiscano 

 un complesso : è il tipo di V (n. 6). 



H Si osservi che non possono essere fissi i due punti di appoggio su g delle *> 2 cubiche di T ( aventi 

 questa retta per corda; e invero al variare di g in (M) essi due punti descriverebbero una curva (luogo di 

 punti per ognuno dei quali passano » 2 cubiche di V { ) che dovrebbe essere biproiettata da qualunque punto 

 dell'ambiente, ciò che è assurdo. 



